Нормированное (нормальное) уравнение прямой.
Рассмотрим произвольную прямую L. Проведем через начало координат О прямую n^L, Р=LÇn – точка пересечения прямых. n –единичный вектор прямой n, и, следовательно, нормальный вектор прямой L, его направление совпадает с направлением отрезка ОР (если точки О и Р совпадают, то направление вектора n выбирают произвольно). Выразим уравнение прямой L через два параметра: длину р отрезка ОР и угол q между вектором n и осью Ох. Т.к. n – единичный вектор, то его координаты равны проекциям на оси координат: n={cos q,sin q} (13) Точка М(х,у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором n, равна р, т.е. при условии прn =р (14) Т.к. , то ½n½прn =прn =n× (15) n× =х cos q+уsin q (16) Т.о. точка М(х,у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению: х cos q+уsin q=р или х cos q+уsin q-р=0 (17)– нормированное (нормальное) уравнение прямой. Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 можно преобразовать в нормальное. Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0 и нормированным уравнением х cos q+уsin q-р=0, то найдется число t такое, что: tА=cosq, tB=sinq, tC=-p. Возведя в квадрат первые два равенства и сложив их, получим: t2(A2+B2)=1. Тогда t= . Т.к. всегда расстояние р³0, то из равенства tC=-p заключаем, что знак t противоположен знаку C. Т.о., для приведения общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0 к нормированному виду, следует умножить его на нормирующий множитель t= , знак которого противоположен знаку С. Если С=0, то прямая проходит через начало координат (р=0). В этом случае знак нормирующего множителя можно выбирать любым. Пример. Написать нормированное уравнение прямой 3х-4у+10=0. Т.к. С=10>0. то нормирующий множитель равен . Нормированное уравнение имеет вид: - х+ у-2=0. Здесь р=2, cos q=- , sin q= , q= . Отклонение точки от прямой. Даны прямая L:Ах+Ву+С=0 и точка М0(х0;у0), не лежащая на ней. Расстоянием от точки М0 до прямой L называется длина перпендикуляра М0М1, опущенного из этой точки на прямую: d=ρ(M0,L). Определение. Отклонением d точки М0(х0;у0) от прямой L называется число + d в случае, когда точка М0 и начало координат О лежат по разные стороны от прямой L, и число –d, когда точки М0 и О лежат по одну сторону от прямой L. Если начало координат О лежит на прямой L, то полагают отклонение равным +d в том случае, когда точка М0 по ту сторону от L, куда направлен нормальный вектор n, и равным -d в противном случае. Теорема. (с. 128) Пусть прямая L задана нормированным уравнением х cos q+уsin q-р=0 (17). Тогда отклонение точки М0(х0,у0) от прямой L, равно: d=х0 cos q+у0 sin q-р (18) Учитывая процедуру преобразования общего уравнения прямой в нормальное, получаем формулу для расстояния от точки М0(х0;у0) до прямой L, заданной своим общим уравнением: d= (19) Формула (19) позволяет найти и расстояние от точки до прямой. Пример. Найти длину высоты ВН ΔАВС, если В(1;2), а уравнение прямой, содержащей сторону АС: 6х-8у+5=0. Находим длину ВН как расстояние от точки В до прямой АС: =0,5.
Рассмотрим точку М2 L, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. Ах2+Ву2+С=0 (*). Координаты вектора =(х0-х2;у0-у2). Вектор n=(A;B) - нормальный вектор прямой (в его качестве можно рассмотреть вектор , т.к. L). Тогда d= (т.к. из (*) С=- Ах2-Ву2) ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|