Главная | Обратная связь

Кривые II –го порядка.

Кривыми 2-го порядка на плоскости называется множество точек {M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют уравнению

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1),гдеА²+В²+С²≠0

Уравнение (1) – общее уравнение кривых 2-го порядка.

Теорема. Для любой линии 2-го порядка существует прямоугольная система координат, в которой уравнение этой линии примет один из следующих видов:

1. - эллипс; 5.;

2. - мнимый эллипс

3. - пара мнимых пересекающихся прямых ( )

4. - гипербола;

5. - пара пересекающихся прямых ( )

6. у²=2рх - парабола;

7. у²-а²=0 пара параллельных прямых.

8. у²+а²=0 пара мнимых параллельных прямых.

9. у²=0 пара совпадающих прямых.

Последний случай является случаем вырождения уравнения (1) (точка).

х²-у²=0 (х-у)(х+у)=0

х=у х=-у

Определим, при каких условиях уравнение (1) является уравнением окружности. Для этого представим уравнение (х-х₀)² +(у-у₀)²= R² в виде:

х²+у²-2х₀х-2у₀у+х₀²+у₀²-R²=0 (1*)

Чтобы это уравнение описывало ту же линию, что и уравнение (1) должно быть В=0, а остальные коэффициенты пропорциональны, в частности , откуда А=С≠0 (т.к. А²+В²+С²≠0, а В=0). Получаем общее уравнение окружности: Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0

Разделим обе части уравнения на А: х²+ у²+ х+ у+ =0.

Дополним члены, содержащие х и у, до полного квадрата, получаем

(х+ )²+(у+ )²=

Т.о. при А=С, В=0, D²+E²-4AF>0 уравнение (1*) является уравнением действительной окружности с центром в точке О(- ;- ) и радиусом R=

Обозначив х₀=- , у₀= - , δ=

Предположим для простоты исследования, что центр кривой находится в начале координат, т.е. х₀=у₀=0. Тогда уравнение кривой имеет вид:

Ах²+Ву²= δ

Можно показать, что с помощью поворота исходной системы координат ур-е (1) может всегда преобразовать к виду, в котором отсутствует член с множителем ух (В), поэтому будем проводить анализ линий, уравнения которых имеют вид:

Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (2)

1) АС>0 – эллипс(т.е. коэффициенты А и С – одного знака)

В этом случае уравнение (2) может быть преобразовано к виду:

(3) - каноническое уравнение эллипса, с центром в точке М₀(х₀;у₀), оси симметрии которого параллельны осям координат.

a>b>0 a – большая полуось, b – малая полуось.

При а=b–частный случай–уравнение окружности.

Характеристическое свойством эллипса является то, что сумма расстояний от любой его точки до фокусов F₁(-c;0) и F₂(c;0) всегда постоянно. (Эллипс можно определить как множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов)постоянная величина)

Связь между параметрами эллипса а, b и c имеет вид:

(а-большая полуось эллипса, b – малая ось).

Покажем справедливость характеристического свойства для эллипса с центром в точке (0;0):

d=F₂M+MF₁=

F₂M= Аналогично, MF₁=а-Ех

Т.о. d=F₂M+MF₁=2а

Форма (кривизна) эллипса определяется егоэксцентриситетом (“эпсилон”)

При e=0 эллипс переходит в окружность.

При e=1 эллипс вырождается в отрезок прямой.

2. АС<0 – гипербола.

В этом случае уравнение (2) может быть преобразовано к виду: (4) – каноническое уравнение гиперболы,центр которой в точке М₀(х₀;у₀), оси симметрии которого параллельны осям координат

Фокусы гиперболы F₁(-c;0) и F₂(c;0). Связь между параметрами гиперболы а, b иc имеет вид:

Характеристическое свойство гиперболы(можно принимать за определение): для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная 2а: d=|F₂M-MF₁|=2a.

Кривизна гиперболы определяется её эксцентриситетом >1

Рассмотрим уравнение гиперболы с центром в точке (0;0):

Тогда у= . При достаточно больших х уравнение примет вид у≈ , т.е. при х→∞ ветви гиперболы приближаются к прямым у= - асимптотам гиперболы.

3. А=0 (В=0) – парабола.

В этом случае уравнение (2) может быть преобразовано к виду:

(у-у₀)²=2р(х-х₀) – (5) – каноническое уравнение параболы, с центром в точке М₀(х₀;у₀) и осью симметрии, параллельной оси абсцисс Ох.

Параметр р>0 определяет крутизну параболы.

Характерное свойство параболы состоит в том, что каждая ее точка одинаково удалена от фокуса параболы и от прямой L – директрисы.

(Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой).

Кривые 2-го порядка могут быть классифицированы по величине их эксцентриситета: 0< Ε<1 эллипс, Ε=1 – парабола, Ε>1 – гипербола.

Аналитическая геометрия в пространстве (R³)

Для описания точек, векторов, линий, поверхностей в пространстве будем использовать декартову систему координат (ДСК) Т.е. установим взаимно однозначное соответствие между тройкой чисел (х;y;z) и точкой пространства М. Набор чисел (х;y;z) называется координатами точки М.

Поверхностью в пространстве называется множество точек {M(x;y;z)}, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению:

z=f(x;y) (1) – явное уравнение линии в ДСК

F(x;y;z)=0 (2) - неявное уравнение линии в ДСК

(Уравнение (1) может быть получено из уравнения (2) путем выражения из этого уравнения одной переменной через другие.

Если уравнение (2) не содержит какой-либо координаты х,у или z, то получаем уравнение цилиндрической поверхности, которая параллельна оси, соответствующей отсутствующей переменной. F(x;y)=0

x²+y²=R²

Линия в пространстве R³ определяется как линия пересечения двух поверхностей.

(3) – общее уравнение линии в пространстве.

Линию в пространстве можно так же задать параметрически:

(4)

Сфера.

Сферойв пространстве называется множество точек равноудаленных от заданной точки М₀(х₀;у₀;z₀) – центра сферы.

Пусть М(х;у;z) – некоторая переменная точка сфера. Расстояние от точки М до центра М₀ постоянно и равно радиусу сферы, т.е. d(M₀M)=const=R

R=

R²=(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)² – уравнение сферы.

 

1. Сборник задач по математике для втузов, Т.1. Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова.

2. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича.