Здавалка
Главная | Обратная связь

Связь между параметрами импульса и шириной его спектра



 

Все радиотехнические и электротехнические устройства (усили­тели, фильтры, линии задержки, соединительные кабели и пр.), ко­торые называют четырехполюсниками (два полюса на входе и два — на выходе), обладают ограниченной по­лосой пропускания. Такие параметры схемы, как переходные и блокировочные емкости, индуктивности первичной обмотки транс­форматоров, в силу своей ограниченной величины, затрудняют про­хождение низкочастотных составляющих через схему. Паразитные емкости, внутренние сопротивления, индуктивности рассеяния, в свою очередь, ограничивают прохождение высокочастотных со­ставляющих. В связи с этим форма импульсов, подаваемых на вход любой схемы, из-за частотных и фазовых искажений на низ­ких и высоких частотах после прохождения через четырехполюсник претерпевает соответствующие изменения1).

Обычно экспериментальная проверка работы четырехполюсни­ка осуществляется при помощи генератора прямоугольных импульсов и осциллографа. Импульсы подаются на вход испытуемого устрой­ства, а форма вы- _____________________

1Здесь речь идет о видеоимпульсах. Но подобные рассуждения справед­ливы и для радиоимпульсов. В этом случае «нижними частотами» следует счи­тать частоты, близкие к несущей.

ходных импульсов контролируется на экране осциллографа. Практика показывает, что для такой проверки наи­более целесообразно использовать импульсы прямоугольной формы. Это обусловлено большой насыщенностью прямоугольных импульсов спектральными составляющими как в области низких, так и в об­ласти высоких частот, большей наглядностью получаемых резуль­татов и сравнительной простотой их генерирования. Оказывается также, что если выходные прямоугольные импульсы воспроизводят с малыми искажениями, тo тем более удовлетворительно воспроизводятся импульсы любой другой формы.

Для того, чтобы представить, как влияет ограничение по низким частотам на форму выходных прямоугольных импульсов, рассмотрим простую схему, ограничивающую низкие частоты. Эта схема, со­держащая только два элемента R и С, приведена на рисунке 12 а. На вход ее подадим синусоидальное напряжение U1 sin t. При пони­жении частоты входного напряжения сопротивление Хс=1/ С рас­тет и выходное напряжение падает.

 

 

Рисунок 12 – Простейший фильтр высоких частот:

а) схема; б) частотная характеристика

 

Проанализируем работу схемы рисунка.12, а с двух точек зрения: во-первых, с частотной и, во-вторых, с импульсной. Допустим, что входное синусоидальное напряжение имеет постоянную амплитуду U1, но частота его медленно меняется от нуля до бесконечности. Ток в схеме

I = .

Выходное напряжение

.

Модуль амплитуды выходного напряжения

(18)

Модуль коэффициента передачи схемы

(19)

На рисунке 12,6 изображен график зависимости К=f (ω) (частот­ная характеристика), построенный на основании формулы (19). Из графика видно, что чем ниже частота, тем сильнее завал частот­ной характеристики.

Теперь для выяснения импульсной картины подадим на вход схемы П-образный импульс (рисунок 13,а). Для нахождения выходного напряжения составим для схемы дифференциальное уравнение

так как

, .

После дифференцирования правой и левой частей этого выражения получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка:

.

Во время действия импульса, т. е. в интервале времени от t=0 до t=tи, u1=U=const, т. е. du1/dt=0. Поэтому

(20)

Решение уравнения (20) является экспонентой

(21)

Постоянную интегрирования А определим следующим образом. В начальный момент времени (t=0) конденсатор С разряжен, на­пряжение на нем равно нулю. Так как напряжение на конденсато­ре скачком измениться не может, все входное напряжение u1(0) = U передается на выход — на резистор R. Подставив в выраже­ние (21) t=0 и и2(0) =U, получим A =U, т. е.

(22)


 

 

Рисунок 13 – К пояснению искажения формы прямоугольного импульса фильтром высоких частот:

а) форма импульса на входе; б) форма импульса на выходе; в) распределение потенциалов на элементах схемы фильтра

 

На рисунке 13,б показана форма выходного импульса. На участке 0÷tи имеет место скос «крыши» аб.Этот скос объясняется встречным по отношению к входному напряжению u1 зарядом конденсатора С (рисунок 13,в). После исчезновения импульса конденсатор будет разряжаться на резистор R (предполагается, что вход­ные клеммы 11’ замкнуты через внутреннее сопротивление источника импульсов). Если принять, что внутреннее сопротивление незначительно по сравнению с сопротивлением резистора R и для удобства перенести начало отсчета времени в точку t=tи, то разряд конденсатора (участок вг на рисунке 13,6) можно определить следующим выражением:

(23)

Таким образом, завал частотной характеристики на низких частотах приводит к скосу «крыши» импульса и совершенно не сказывается на крутизне его фронта и спада. Относительная величина скоса «крыши» импульса δ определяется выражением

(24)

На практике в импульсных усилителях в большинстве случаев δ<<1 1), поэтому, исходя из приблизительного соотношения 1—е≈ х при x<<l, имеем

(25)

Чтобы связать завал частотной характеристики со скосом «кры­ши» импульса, подставим значение RC=tииз формулы (25) в формулу (19):

(26)

Обычно принято границу частотной характеристики определять на уровне К=0,707= 1/√2 (см. рисунок 12,6). В этом случае

.

откуда ωнtи/δ= 1, т. е. низкочастотная граница ωн (на уровне 0,707) и скос «крыши» связываются следующим соотношением:

; (27)

Из формулы (27) следует, что чем выше граница ωн, т. е. чем больше область с низкочастотными искажениями, тем больше ока­зывается скос δ.

Пример 1.3. Определим низкочастотную границу полосы пропускания цепи RC и ее постоянную времени, если длительность прямоугольного импульса tи=10-3сек=1мсек, а допустимый скос «крыши» δ=0,1=10%:

1/сек; гц;

2)RC= с = 10 мс

 
 


1 Иногда (например, в дифференцирующих цепях) добиваются значитель­ного скоса δ. В этих случаях формулы (25), ( 26), (27) непригодны.

Рисунок 14 - Простейший фильтр низких частот: а) схема; б) частотная характеристика

 

Для определения связи между верхней границей полосы пропускания четырехполюсника и формой импульса воспользуемся простейшей схемой, содержащей только два элемента С и R (рисунок 14,а). Эта схема заваливает высокие частоты. При подаче на вход этой схемы синусоидального напряжения U1 выходное напря­жение U2 определяется следующим выражением:

.

Модуль коэффициента передачи

(28)

 

График K=f(ω), построенный на основании этого выражения, показывает завал на высоких частотах (рисунок 14,6).

При подаче на вход схемы рисунок 14,а прямоугольного импульса выходное напряжение u2 будет иметь форму, определяемую из сле­дующего дифференциального уравнения:

(29)

Во время действия импульса входное напряжение постоянно: u1(t) =U= =const. Учитывая это, получим следующее решение урав­нения:

u2(t)=U(1-e-t/RC) (30)

Форма входного и выходного напряжений схемы показана на рисунке 15, из которого видно, что завал на высоких частотах приво­дит к растягиванию фронта и спада импульса.

Определим количественную связь междучастотным завалом и длительностью фронта выходного импульса (длительность фронта входного импульса примем равной нулю). Для этого воспользуемся методом, подобным примененному в предыдущем случае. Из формулы 30 определим длительность фронта:

0,1U= ; 0,9U= .

tф= t2 - t1=-RC ln0,1+RC ln0,9

откуда

tф=2,2RC. (31)

 

Рисунок 15 - К пояснению искажения формы прямоугольного импульса фильтром низких частот:

а) форма импульса на входе; б) форма импульса на выходе

 

Подставим RС = tф/2,2 в выражение (28):

(32)

Приняв высокочастотную границу ωв полосы пропускания четы­рехполюсника на уровне 1/ = 0,707 (рисунок 14,6), получим

,

откуда

; . (33)

Пример 1.4. Определим необходимую высокочастотную границу пропускания цепи RC и ее постоянную времени, если допустимая длительность фронта выход­ного прямоугольного импульса tф = 0,1 мсек =0,1∙10-3 сек (на входе схемы tфтвх≈0)

1) гц = 3,5 кгц;

2) сек = 45,5 мкс.

Формула (27), связывающая величину скоса «крыши» им­пульса с низкочастотной границей спектра пропускания, и формула (33), связывающая длительность фронта с высокочастотной границей, получены для частных случаев простейших -фильтров. Однако эти формулы в принципе справедливы для подавляющего большинства четырехполюсников с более сложными схемами. Следует всегда иметь в виду основное правило: завал характеристики на низких частотах приводит к скосу «крыши» импульса, завал на высоких частотах увеличивает длительность его фронта и спада.

Для приближенных оценок в любом случае можно пользоваться формулами:

(34)

(35)

На форму выходного импульса также сильно влияют фазовые искажения. Принципиально нельзя разделять рассмотрение час­тотных и фазовых искажений, так как в реальных схемах они всег­да сопровождают друг друга. Однако для большей наглядности влияния фазовых искажений условно будем рассматривать их в отрыве от частотных.

Представим себе линейный четырехполюсник, коэффициент пе­редачи которого является функцией частоты. Перио­дическое напряжение на его входе (последовательность импульсов) можно выразить в виде ряда Фурье:

(36)

 

где ωn = nω1 - п-я гармоника, а φn - соответствующий ей сдвиг фаз.

После прохождения через четырехполюсник каждая гармони­ческая составляющая выходного напряжения претерпевает как амплитудные (частотные), так и фазовые изменения. В связи с этим ряд Фурье для выходного напряжения можно записать в сле­дующем виде:

(37)

Изменения амплитуд гармонических составляющих выходного напряжения относятся к амплитудно-частотным искажениям:

Un2=К(ωn)Un1.

Появление дополнительного сдвига фаз ψn в аргументе косинусов определяется фазо-частотными искажениями, обусловленными формой фазовой характеристики четырехполюсника. Наличие дополнительных фазовых сдвигов ψn = ψnn) в выходном напряжении приводит к существенным измене­ниям формы выходных импульсов по сравнению с входными. Поясним это примером. Предположим, что входное напряжение состоит толь­ко из двух синусоид — первой и вто­рой гармоник (рисунок 16,а). Допу­стим, что после прохождения через некоторый четырехполюсник, вно­сящий только фазовые искажения, вторая гармоника выходного напря­жения сдвинется на 180° по отно­шению ко второй гармонике входно­го напряжения (рисунок 16,6). В этом случае форма выходного напряже­ния будет резко отличаться от фор­мы входного (кривая 3).

Рисунок 16 - Пример влияния фазовых соотношений гар­монических составляющих на форму огибающей импуль­сного процесса:

1 — первая гармоника; 2 — вторая гармоника; 3 — суммарная кривая (огибающая)

Все реально существующие че­тырехполюсники вызывают фазо­вые изменения в гармонических со­ставляющих выходного напряжения. Поэтому важно выяснить, какая форма фазовой характеристики че­тырехполюсника не вызывает иска­жений выходного напряжения. Ока­зывается, что такой фазовой характеристикой является прямая линия, проходящая под любым углом наклона α через начало координат (рисунок 17,а). В этом случае дополнительный сдвиг фаз для любой гармоники оказывается пропорциональным номеру этой гармоники:

(39)

где τ = tgα — постоянная величина, определяющая наклон фазо­вой характеристики ψ(ω).

 

Рисунок 17 – К пояснению фазо-частотных искажений:

а) идеальная фазовая характеристика четырехполюсника; б) импульс при идеальной фазовой характеристике без задержки; в) задержка импульса при идеальной фазовой характеристике

 

Подставляя ψn из формулы (39) в выражение (37) и имея в ви­ду, что

ω n = nω1,получаем

. (40)

Таким образом, для каждой гармоники выходного напряжения начало отсчета времени переместится на постоянную для всех гар­моник величину τ, так как в выражение (40) вместо t входит t+τ. Например, для напряжения, форма которого показана на рисунке 17,б, как первая, так и вторая гармоники выходного сигнала задержатся на одинаковое время τ, но фазовые соотношения меж­ду ними сохранятся (рисунок 17,в), и огибающая (суммарная кри­вая) u2(t) не изменит формы по сравнению с выходным напряже­нием, если при этом отсутствуют частотные искажения, т. е. если К(ω) = const в рабочей полосе частот.

 

Рисунок 18 - К пояснению искажений фазовой ха­рактеристики на низких и высоких частотах

 

Из изложенного следует, что четырехполюсник с равномерной частотной и линейной фазовой характеристиками является схемой, в которой выходные импульсы не изменяют своей формы, но за­держиваются во времени. Отклонение фазовой характеристики от прямой линии неизбежно приводит к изменению (искажению) формы выходного импульса.

Обычно для устройств, формирующих видеоимпульсы — усили­телей, фильтров и пр., — имеет место отклонение фазовой харак­теристики от прямой линии как на низких, так и на высоких час­тотах (рисунок 18,а). На средних же частотах эта характеристика близка к прямой линии, проходящей через начало координат.

Для импульсного процесса характерна сравнительно широкая полоса частот. В связи с этим удобнее фазовые искажения изоб­ражать графически отдельно для низких и высоких частот. Кроме того, вместо фазы ψ выходного напряжения нагляднее по оси ор­динат откладывать отклонение Δψ фазовой характеристики от ли­нейной (рисунок 18,б, в), причем

Δψ=ψ(ω)-τω (41)

 

2 Практическая часть

А) Проиллюстрировать применение ряда Фурье при рассмотрении спектрального состава последовательности симметричных идеализированных прямоугольных импульсов (см. рисунок 1,а) при значениях их амплитуды согласно вариантам таблицы 1:

 

Рисунок 1 – Форма и спектральный состав импульсов: а) прямоугольных; б) экспоненциальных

Ввести пределы интегрирования для амплитуд косинусоидальной гармоники Ucn.

Найти распределение амплитуд гармоник по частотам (см. рисунок 1,б), ввести пределы интегрирования и представить график амплитуд спектральных составляющих в зависимости от частоты, построить график Uсn = f ( n ).

Таблица 1.

NN п/п вариантов
Амплитуда идеализирова- нных П-образных импульсов U

 

Б) Проиллюстрировать применение ряда Фурье при рассмотрении спектрального состава последовательности экспоненциальных импульсов (см. рисунок 1,б). Получить амплитуды n – й косинусоидальной и синусоидальной гармоник. Получить полную амплитуду n – й гармоники спектра согласно вариантов таблицы 2 и представить график зависимости Un = f (n )

Таблица 2.

NN п/п вариантов
Амплитуда экспоненциальных импульсов U


 

3 Отчетность по лабораторной работе

 

Для защиты лабораторной работы занятий студент должен представить отчет, выполненный согласно ГОСТ. Объем отчета должен быть не более 10 листов формата А4, графически он может быть выполнен от руки или на принтере.

В отчете должны быть представлены:

- титульный лист;

- введение;

- практическая часть;

- заключение;

- список литературы.

 

 

Контрольные вопросы

 

1 Что понимают под скважностью импульса?

2 Что понимают под длительностью фронта или спада импульса?

3 Что понимают под спектром периодической последовательности

импульсов?

4 Что понимают под фазовыми соотношениями между гармоническими составляющими импульсов?

5 Что понимают под четной и нечетной функциями импульсов?

6 Что понимают под параметрами импульса?

7 Что понимают под шириной спектра импульса?

8 Что понимают под фазо - частотными искажениями?

 

Литература

1 Евланов Л.Г. Контроль динамических систем. – М.: Наука, 1979.

2 ГОСТ 18242 – 72. качество продукции. Статистический приемочный

контроль по альтернативному признаку. Одноступенчатые и двухсту-

пенчатые корректируемые планы контроля.

3 ГОСТ 8. 508 – 84. Метрологические характеристики средств измерений и точностные характеристики средств автоматизации ГСП. Общие методы оценки и контроля.

4 Шляндин В.М. Цифровые измерительные преобразователи и приборы,

Учебник для специальности «Информационно-измерительная техни-

ка». М.: «Высшая школа», 280 с. с ил.,1973.

 

 

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.