ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ПО ВЫБОРОЧНОЙ СРЕДНЕЙ
Пусть требуется изучить генеральную совокупность относительно количественного признака X. [Распределение признака и в генеральной, и в выборочной совокупности будем считать дискретными, т.к. от непрерывных распределений всегда можно перейти к дискретным.]
: Определение. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака X генеральной совокупности.
Если значения различны, то . Поскольку исследуемый признак Xможно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой имеют одинаковую вероятность (вероятность извлечь объект со значением равна ), то Итак,.(1) Если значения имеют соответственно частоты , причем , то Формула (1) остается справедливой и в этом случае. Замечание. Все рассуждения были приведены, когда X - дискретная случайная величина. При непрерывном распределении признака X по определению полагают . Для изучения генеральной совокупности относительно признака X извлекается выборка объёма n.
: Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.
Если различны, то Если имеют соответственно частоты , причём , то (2) Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть число. Если извлекать из этой генеральной совокупности другие выборки того же объекта, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. Задача. Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n со значениями признака (будем считать их различными). Генеральная средняя неизвестна. Требуется оценить по данным выборки. Выборочную среднюю принимают в качестве оценки генеральной средней. – оценка . Будем рассматривать как случайную величину ; как независимая одинаково распределенные величины , имеющие то же распределение, что и X. Докажем, что средняя выборочная – несмещённая оценка генеральной средней, т.е. . имеют то же распределение, что и X. Обозначим ,следовательно, , . Тогда
, следовательно, ,что и требовалось доказать. Докажем, что выборочная средняя - состоятельная оценка генеральной средней. Предположим, что Х1, Х2, …, Хn имеют ограниченные дисперсии. Тогда согласно частному случаю теореме Чебышёва или ,что и требовалось доказать. Итак, – несмещённая состоятельная оценка . Замечания. 1. Выборочные средние, найденные по нескольким выборкам достаточно большого объёма из некоторой генеральной совокупности, приближенно равны между собой. 2. Предполагали, что выборка повторная. Однако полученные выводы применимы и для бесповторной выборки, если её объём значительно меньше объема генеральной совокупности. 3. Эффективность или неэффективность зависит от вида закона распределения признака X. Если X распределена по нормальному закону, то будет минимально возможной, т.е. средняя выборочная является эффективной оценкой.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|