 |
|
Склад лабораторного устаткування
Лабораторна робота виконується на обчислювальному комплексі, у складі якого: локальна обчислювальна мережа комп'ютерів типу IВМ РС, ОС Windows 2000/XP.
Порядок виконання роботи
1. Вибрати варіант індивідуального завдання з табл. 5.1 згідно з номером студента у списку групи. Вирішити диференціальне рівняння двома з наступних методів для двох значень кроку інтегрування h=0.01; 0.001:
1) Метод Ейлера.
Розглянемо два варіанти виводу розрахункових формул
· варіант 1 (аналітичний) у=f (x,y)
| y1=y0+h*f(x0,y0) x1=x0+h | Розрахункові формули для 1-го кроку |
| yi+1=yi+h*f(xi,yi) xi+1=xi*h | Розрахункові формули для i-го кроку |
· варіант 2 (графічний)
| 
y1=y0+f(x0,y0)*h;
x1=x0+h
yi+1=yi+h*f(xi,yi)
|
| k1=h*f(xi,yi) yi+1=yi+ki xi+1=xi+h | Аналогічно варіанту 1 |
Наступні розрахункові формули приводяться без виводу.
2) Модифікований метод Ейлера (варіант 1)
уi+1=уi+hf(xi+h/2, yi+hf(xi,yi)/2),
xi+1=xi+h.
3) Модифікований метод Эйлера (варіант 2)
уi+1=уi+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],
xi+1=xi+h.
4) Метод Рунге-Кутта третього порядку
уi+1=уi+(k1+4k2+k3)/6,
k1=hf(xi, yi),
k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),
k3=hf(xi+h, yi+2k2-k1),
xi+1=xi+h.
5) Метод Рунге-Кутта четвертого порядку
уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,
k1=hf(xi,yi),
k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),
k3=hf(xi+h/2, yi+k2/2),
k4=hf(xi+h, yi+k3),
xi+1=xi+h,
де уi+1,уi - значення шуканої функції в точках xi+1, xi відповідно, індекс i показує номер кроку інтегрування, h - крок інтегрування. Початкові умови при чисельному інтегруванні враховуються на нульовому кроці: i=0, x=x0, y=y0.
Таблиця 5.1. Варіанти індивідуальних завдань
| №пп | Рівняння | Метод | №пп | Рівняння | Метод |
| у'=(xy2+x)/(y-x2y) | 1,4 | у'=cos(t)-y | 3,5 | ||
| у'=(1-2x)/y2 | 2,4 | y'=exp(bx)-ay | 1,4 | ||
| у'=(1-x2)/xy | 3,4 | У'=-2y/(y2-6x) | 2,4 | ||
| у'=(y2-y)/x | 1,5 | у'=1/(2x-y2) | 3,4 | ||
| y'=(1+y)/(tg(x) | 2,5 | у'=sec(x)- y tg(x) | 1,5 | ||
| у'=exp(x)-1 | 3,5 | y'=(exp(x)-y)/x | 2,5 | ||
| y'=y ln(y)/sin(x) | 1,4 | у'=1+y/(x(x+1)) | 3,5 | ||
| у'=(1+y2)/(1+x2) | 2,4 | у'=(y+yx2-x2)/(x(1+x2)) | 1,4 | ||
| у'=4x-2y | 3,4 | у'=cos(x-y) | 2,4 | ||
| у'=x exp(-x2)-2xy | 1,5 | у'=3x-2y+5 | 3,4 | ||
| у'=2x-y | 2,5 | у'=sin(x)-y | 1,5 | ||
| у'=exp(-x)-2y | 3,5 | у'=exp(x)-y | 2,5 | ||
| у'=exp(-x)-2x | 1,4 | у'=exp(2x)-1 | 3,5 |
Примітка. Значення параметрів a, b і початкові умови y|x=x0=y0 вибрати cамостійно.
2. Оформити результати розрахункіув у вигляді таблиці 5.2.
Таблиця 5.2. Результати розрахунків
| х | Рішення рівняння, у(x) | ||||
| Аналітичне | Чисельне | ||||
| Метод 1 | Метод 2 | ||||
| h=0.01 | h=0.001 | h=0.01 | h=0.001 | ||
Зміст звіту
Звіт має містити:
1. Індивідуальне завдання до роботи.
2. Результати аналітичного розв'язання задачі диференціювання.
3. Алгоритм методу чисельного диференціювання.
4. Роздруківку програми.
5. Результати обчислювального експерименту.
6. Аналіз отриманих результатів і висновки з роботи.
5.6 Контрольні запитання і завдання
1. Що є розв'язком задачі чисельного диференціювання?
2. Яким чином побудовано найпростіші формули чисельного дифере-нціювання?
3. Наведіть спосіб оцінки похибок формул чисельного диференціювання.
4. Як залежить величина похибки формули чисельного диференціювання від величини кроку?
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ
1. Петров А.В. и др. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах.- М.: Высш.шк., 1984.-320 с.
2. Светозарова Г.И. и др. Практикум по программированию на алгоритмических языках.- М.: Мир, 1977.-584 с.
3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.- М.: Наука, 1966.-т.1, 632 с.
4. Волков Е.А. Численные методы.-Мю: Наука, 1982.-312 с.
5. Данилина Н.И. м др. Численные методы.- М.:Высш.шк.,1985.-472 с.
6. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики.-М.: Наука, 1966,-664 с.
7. Демидович Б.Н., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа.-М.: Физмат. Литература, 1962, - 368 с.
8. Конспект лекцій з дисципліни «Обчислювальні методи».