Запишем распределение Бозе-Эйнштейна и выражение для внутренней энергии идеального фононного газа
, Используем для расчета внутренней энергии и теплоемкости кристалла так называемую непрерывную модель. Кроме этого, предположим, что скорости всех упругих волн одинаковы. Такое предположение не вполне корректно, но оно позволяет упростить вычисления и получить основные результаты. В результате оказывается, что спектральная плотность фононных орбиталей отличается от фотонной плотности множителем (у фотона две поляризации, у фонона – три). Поэтому, для фононов . . (4) . . Введем в (4) новую переменную интегрирования и определим характеристическую температуру Дебая формулой . Тогда выражение для внутренней энергии примет вид . (5) При высоких температурах формула (5) приводится к виду . При низких температурах верхний предел интегрирования в (5) можно положить равным бесконечности (соответствующее значение интеграла равно ). В результате получаем для энергии , . (6) Вырожденный электронный газ в металле. Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Рассмотрим вначале электронный ферми-газ при температуре абсолютного нуля – полностью вырожденный ферми-газ. При распределение электронов по состояниям ведет себя как ступенчатая функция (7) В импульсном пространстве электроны также заполняют все состояния с импульсами от нуля до максимального импульса . Число квантовых состояний в интервале импульсов от p до p+dp равно , где множитель 2 учитывает кратность спинового вырождения. Число электронов с импульсами от нуля до максимального импульса равно . . . . При температурах, отличных от нуля, часть электронов переходит с уровней, лежащих ниже уровня Ферми , на уровни, лежащие выше этой границы. В результате ступенька расплывается и превращается в пунктирную линию (рис.). Из формулы распределения Ферми-Дирака легко видеть, что полуширина распределения . Поэтому температуру естественно назвать температурой вырождения электронного газа (ступенька полностью расплывается). При более высоких температурах вырождение снимается, – электронный газ ведет себя как классический. Численная оценка приводит к значению К. Следовательно, электронный газ в металлах при любых температурах вплоть до точки плавления остается вырожденным. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|