 |
|
Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел.
1. Обобщенная формула Бальмера 
, 
- постоянная Ридберга, m=1,2,3… - определяет серию, n=m+1, m+2, m+3… - определяет отдельные линии в серии.
2. Первый постулат Бора 
, 
, n=1,2,3…, 
- масса электрона, 
- скорость электрона на n-ойорбите с радиусом 
.
3. Второй постулат Бора (правило частот) 
.
4. Энергия электрона в водородоподобном атоме 
, n=1,2,3…, е= 
- заряд электрона, z- зарядовое число (порядковый номер элемента).
5. Длина волны де Бройля 
.
6. Соотношение неопределенностей 
, 
.
7. Вероятность нахождения частицы в элементе объема dV 
, 
- волновая функция, 
, 
- функция комплексно сопряженная .
8. Условие нормировки вероятностей 
.
9. Общее уравнение Шредингера 
, , U-потенциальная энергия частицыв силовом поле.
10. Уравнение Шредингера для стационарных состояний 
. E – полная энергия частицы.
Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц.
1. Радиус ядра 
. 
, А- массовое число.
2. Энергия связи нуклонов в ядре 
.
3. Дефект массы ядра 
Zmp + (A – Zmn) –mя , 
и 
- массы протона, нейтрона и ядра.
4. Магнетон Бора 
.
5. Закон радиоактивного распада 
, 
- постоянная радиоактивного распада.
6. Период полураспада 
.
7. Среднее время жизни радиоактивного ядра 
.
8. Активность нуклида 
.
9. Правило смещения для 
распада 
.
10. Правило смещения для 
- распада 
.
11. Правило смещения для 
- распада 
.
12. Символическая запись ядерной реакции 
или X(a,b)Y.
Примеры решения задач.
Задача 1
Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 0,5 мкм. При какой частоте света оторвавшиеся с его поверхности электроны полностью задерживаются обратным потенциалом в 3В? Заряд электрона принять равным 
Кл; постоянная Планка 
Дж с; скорость света 
м/с
Решение.
Основным расчетным соотношением для решения задачи служит выражение закона сохранения энергии. Действительно, чтобы задержать вылетающие электроны, необходимо приложить задерживающееэлектрическое поле, причем вылет электронов прекратиться, очевидно, когда потенциальная энергия электрона в задерживающем поле, равная Е 
, станет равной его кинетической энергии Е 
, поэтому 
= 
. Кинетическая энергия электрона входит в выражение закона сохранения энергии для явления фотоэффекта, где этот закон записывается в виде формулы Эйнштейна: 
, в этом уравнении 
- энергия фотона, А- работа выхода электрона из металла. Из двух вышеприведенных уравнений имеем:
= 
, откуда 
. Неизвестна работа выхода электрона из металла, которую можно найти из следующих рассуждений: явление фотоэффекта наблюдается только при облучении металла с частотой, не меньшей частоты красной границы фотоэффекта 
. Воспользуемся заданной в условии задачи красной границей фотоэффекта; учитывая, что частота связана с длиной волны соотношением 
, где с- скорость света, и полагая, что красная граница фотоэффекта соответствует энергии фотонов, при которых скорость вырываемых с металла электронов равна нулю, получим из уравнения : 
. Тогда: 
. 
Ответ:
Задача 2.
Вычислить полную энергию Е, линейную скорость υ и период Т электрона, находящегося на первой (n=1) боровской орбите атома водорода. Масса покоя электрона m 
=9,1*10 
кг, его заряд e=1,6*10 
Кл.
Решение:
Полную энергию электрона в атоме водорода на его первой стационарной орбите, можно определить по формуле: Е= - 
.Кинетическая энергия электрона на стационарной орбите определяется классической формулой: W 
= 
. Потенциальная энергия электрона на орбите определяется произведением заряда электрона e на потенциал ядра 
: W 
=e∙ φ , где = 
, отсюда потенциальная энергия: W = - 
. Знак «-» учитывает, что взаимодействующие протон ядра и электрон имеют противоположные знаки. Тогда полная энергия электрона Е будет равна: E = 
Радиус первой боровской орбиты определяется ее номером n = 1 согласно выражению r = 
, тогда Е = 
= 
или 
. После преобразований получим формулу для определения линейной скорости движения электрона по орбите: 
, Период вращения электрона связан с линейной скоростью отношением: 
, где и r= . Следовательно: Т= 
.
[E] = 
[ ] = 
[Т]= 
. Подставляя численные значения, имеем: Е = 
; = 
; Т = 
.
Ответ: Е = - 2,2*10 
Дж; , = 2,2*10 
; Т = 1,4*10 
с.
Задача 3.
Определить радиус атома водорода, в котором электрон находится на ближайшей к ядру орбите. Определить скорость движения электрона по этой орбите.
Решение.
Ядро атома водорода (протон) и вращающийся вокруг него электрон взаимодействуют по закону Кулона с силой F= 
, где е – элементарный электрический заряд. Эта сила и является центростремительной, заставляющей электрон вращаться по орбите с радиусом r 
,то есть = 
. Согласно постулату Бора электрон может двигаться только по тем орбитам, для которых импульс электрона 
кратен числу 
(квантование орбит Бора), т.е. 
= 
, где k-целое число. Для ближайшей к ядру орбиты k=1. Следовательно, 
= . Из этого уравнения находим 
и подставляем его значение в первое уравнение, а затем вычисляем радиус орбиты r и скорость :
= 
, 
= 
, 
, 
, подставляя численные значения, получим r = 
м,
тогда = 
м/с.
Ответ: r = м, = м/с.
Задача 4.
При облучении атомов водорода квантами монохроматического светаэлектрон перешел с первой стационарной орбиты ( n = 1) на третью (n 
= 3), а при возвращении в исходное состояние он перешел сначала с третьей орбиты на вторую (n 
=2), а затем со второй на первую. Определить энергии квантов излученных и поглощенных при переходах.
Решение
Разобьем задачу на три процесса: переход электрона с первой орбиты на третью, с третьей – на вторую и со второй орбиты на первую: Е = h 
, где n – номер перехода.
n ,n ,n - номера энергетических уровней, с которых и на которые переходил электрон при переходе атома в возбужденные и основное состояния. Е - энергия кванта поглощенная атомом при переходе электрона с первой стационарной орбиты на третью, Е - энергия кванта, излученного атомом при переходе электрона с третьей орбиты на вторую, Е - энергия кванта, излученная атомом при переходе электрона со второй орбиты на первую. 
; 
; 
, где R – постоянная Ридберга, R= 
. Подставляем полученные формулы, в формулу для определения энергии: Е = h 
, Е =h 
, Е = h 
,[E] = 
.
Е = 
Дж; Е = 
Дж; Е = 
Дж.
Ответ: Е = Дж; Е = Дж; Е = Дж.
Задача 5.
Найти удельную энергию связи 
ядра 
О.
Решение:
А-массовое число элемента, Z- его зарядовое число, m 
- масса одного протона, m -масса одного нейтрона, M - масса ядра кислорода, - удельная энергия связи ядра кислорода. Удельная энергия связи ядра может быть определена
отношением всей энергии связи 
, то есть энергией связи, приходящейся на все нуклоны ядра, к их общему числу, то есть массовому числу А,
= 
. Энергию связи ядра можно определить по формуле:
= 
МэВ. Здесь N=A-Z – число нейтронов в ядре(массы протонов, электронов и нейтронов следует оставить в атомных единицах массы – а.е.м., тогда энергия будет выражена в мегаэлектронвольтах - МэВ).
Тогда общая формула для определения удельной энергии связи ядра будет иметь вид: = /А. Подставив численные значения, получим следующий результат: =8,2 
Ответ: =8,2
Задача 6.
Какая доля радиоактивных ядер некоторого элемента распадается за время t, равное половине периода полураспада?
Решение:
В задаче 
N – количество ядер, распавшихся за время t, N0 – первоначальное количество ядер (то есть в момент t=0), Т – период полураспада элемента. Количество ядер N, распавшихся за время t= 
равно разности первоначального количества ядер N0 и количества N, оставшихся нераспавшимися ядер за время t от начала отсчета времени распада, 
. Количество нераспавшихся ядер, время распада и период полураспада связаны соотношением (закон радиоактивного распада): 
,
где t = , с учетом этого имеем: 
, тогда количество распавшихся ядер 
, найдем отношением 
, 
Доля распавшихся ядер за время, равное половине периода полураспада, 0,29 или в процентном отношении 29% от начального числа ядер.
Ответ: 0,29.