Ряди Фур’є в гільбертових просторах
Векторний простір називається евклідовим простором (ЕП) (над полем ), якщо в ньому визначена функція скалярний добуток (СД) , який задовольняє наступним аксіомам: 1. , ; 2. ; 3. ; 4. .
Лема 1. (Визначення норми в ЕП) В ЕП можна визначити норму за формулою: . (1)
При цьому норма називається узгодженою із СД. В подальшому будемо вважати, що якщо заданий ЕП, то норма в ньому узгоджена із СД.
Лема 2. (Неперервність СД) СД в ЕП є неперервною на функцією.
Обидві леми були доведені в темі ФБЗ.
Вектори називаються ортогональними, якщо . Сім’я векторів називається ортогональною, якщо , . Сім’я векторів називається ортонормованою (ОНСВ), якщо вона ортогональна і при цьому .
Теорема 1. (Ортогональність основної тригонометричної системи) Нехай - інтервал довжини і . Тоді сім’я векторів ортогональна в евклідовому просторі .
Доведення. Нагадаємо, що скалярний добуток в просторі визначається за формулою: (2) Нехай , тоді . Теорема доведена.
Наслідок 1. (Ортонормованість основної тригонометричної системи) Сім’я векторів ОНСВ в просторі .
Для доведення достатньо обчислити норму елемента: .
Наслідок 2. (Ортонормована тригонометрична система) Нехай , тоді сім’я векторів , є ОНСВ в просторі .
Гільбертовим простором (ГП) називається ЕП, що є повним у нормі, що узгоджена із скалярним добутком.
Теорема 2. (Фішера-Рісса про повноту простору) Простір , де - обмежений проміжок дійсної осі, є гільбертовим.
Без доведення.
Нехай - ГП. Ряд в цьому просторі називається збіжним (збіжним до елемента ), якщо збігається послідовність (якщо послідовність , тобто при ), де - послідовність часткових сум.
Теорема 3. (Критерій збіжності ортогонального ряду) Ортогональний ряд (тобто ряд, члени якого утворюють ортогональну систему) елементів ГП збігається тоді і тільки тоді, коли: . (3)
Доведення. Оскільки , а далі твердження випливає з повноти просторів та . Теорема доведена.
Нехай - ЕП, ряд елементів цього простору називається безумовно збіжним, якщо для будь-якої бієкції збігається ряд .
Теорема 4. (Критерій безумовної збіжності ортогонального ряду) Ортогональний ряд елементів ГП безумовно збігається тоді і тільки тоді, коли виконується умова (3).
Доведення. Оскільки для будь-якої бієкції ряд є ортогональним і і все випливає з теореми 3. Теорема доведена.
Нехай зафіксовано ОНСВ у ГП .
Теорема 5. (Коефіцієнти збіжного ряду) Якщо ряд збігається і , то: . (4)
Доведення. Внаслідок неперервності СД маємо: . Теорема доведена.
Ряд , що побудований для заданої ОНСВ ГП , коефіцієнти якого обчислюються за формулами (4) називається рядом Фур’є елемента (РФ) по ОНСВ .
З теореми 5 слідує, що будь-який збіжний в ГП ряд по ОНСВ є РФ своєї суми, але це не виключає, що він є РФ іншого елемента та не збігається до .
Теорема 6. (Нерівність Бесселя) Нехай ОНСВ у ГП . Тоді справджується нерівність Бесселя: . (5)
Доведення. Нехай . Тоді згідно з властивостями СД та нерівності Шварца маємо: , яке виконується , що і є рівносильним нерівності Бесселя (5). Теорема доведена.
Теорема 7. (Про збіжність РФ) Кожен РФ по ОНСВ збігається у ГП (але не обов’язково до відповідного елемента).
Доведення слідує з теореми 3 та нерівності Бесселя.
Теорема 8. (Про збіжність ортогонального ряду) Ортогональний ряд в ГП збігається тоді і тільки тоді, коли він є РФ деякого елемента.
Доведення слідує з теорем 5 і 7.
Теорема 9. (Фішера-Рісса про збіжність ряду) Нехай - ОНСВ в ГП . Якщо для послідовності збігається ряд , то існує такий елемент , що .
Доведення. З теореми 3 ряд збігається в просторі . За теоремою 5 він є РФ своєї суми. Теорема доведена.
Теорема 10. (Рівність Парсеваля-Стєклова) РФ елемента по ОНСВ у ГП збігається до вектора тоді і тільки тоді, коли справджується рівність Парсеваля-Стєклова: . (6)
Доведення одержимо с тотожності: , . (7)
Наслідок. (Рівність Парсеваля-Стєклова для тригонометричної системи) Для тригонометричних РФ рівність Парсеваля-Стєклова набуває вигляду: , (8) або ж, враховуючи показникові форму запису коефіцієнтів Фур’є, тобто , рівність набуває вигляду: . (9)
Сім’я векторів ГП називається повною, якщо не існує ненульового вектора : . Сім’я векторів ГП називається замкненою, якщо : . (10)
Теорема 11. (Зв’язок повноти та замкненості системи) Для ОНСВ ГП наступні умови рівносильні: 1) Система векторів замкнена в ; 2) Система векторів повна в ; 3) РФ елемента має суму, яка дорівнює ; 4) виконується рівність Парсеваля-Стєклова.
Доведення проведемо за схемою 4) 3) 1) 2) 3). 4) 3) доведено в теоремі 10. 3) 1) слідує з означення замкненої системи. 1) 2) нехай внаслідок лінійності та неперервності СД елемент ортогональний замиканню лінійної оболонки системи векторів , яке згідно означення збігається з , отже ортогональний і собі . 2) 3) , нехай РФ , а тому він є РФ елемента . Теорема доведена.
Нехай – ГП, – множина його векторів, що задовольняє умови: 1) ; 2) , ; тоді множина називається підпростором. Вектор називається ортогональним підпростору , якщо , будемо це записувати .
Теорема 12. (Ортогональність вектору підпростору) Нехай повна ОНСВ у ГП і . Вектор .
Доведення. Необхідність. . Достатність. і виконується рівність: . Теорема доведена.
Нехай - підпростір ГП . Вектор називається ортогональною проекцією елемента на , якщо .
Теорема 13. (Про ортогональну проекцію) Нехай повна ОНСВ у ГП і . Тоді існує єдина ортогональна проекція вектора на підпростір і справджується формула: . (11)
Доведення. Якщо виконується (11), то , а тому , що й означає ортогональність . Доведемо від супротивного, що вона єдина: і при цьому . Теорема доведена.
Нехай – довільний ГП. Упорядкований набір векторів простору називається орієнтованим трикутником, якщо . Вектори називаються його сторонами. Трикутник називається прямокутним, якщо в нього існують дві ортогональні сторони, що називаються катетами, третя сторона називається гіпотенузою.
Теорема 14. (Піфагора) Якщо – катети, а – гіпотенуза прямокутного трикутника, то . (12)
Для доведення достатньо піднести до квадрату рівність .
Наслідок. (Довжина катету та гіпотенузи) У будь-якому прямокутному трикутнику довжина катету менша за довжину гіпотенузи.
Нехай – підпростір ГП , . Число називається найкращим наближенням вектора за допомогою векторів простору .
Теорема 15. (Про найкраще наближення) Нехай повна ОНСВ у ГП і . Тоді сума Фур’є здійснює найкраще наближення вектора за допомогою векторів з , тобто . (13) При цьому . (14)
Доведення. Нехай - сума Фур’є, розглянемо трикутник . За теоремою 13 , а - гіпотенуза цього трикутника з наслідку з теореми Піфагора виконується (13). Застосувавши саму теорему Піфагора до трикутника одержимо (14). Теорема доведена.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|