Главная | Обратная связь

Ряди Фур’є в гільбертових просторах

 

Векторний простір називається евклідовим простором (ЕП) (над полем ), якщо в ньому визначена функція скалярний добуток (СД) , який задовольняє наступним аксіомам:

1. , ;

2. ;

3. ;

4. .

 

Лема 1. (Визначення норми в ЕП)

В ЕП можна визначити норму за формулою:

. (1)

 

При цьому норма називається узгодженою із СД. В подальшому будемо вважати, що якщо заданий ЕП, то норма в ньому узгоджена із СД.

 

Лема 2. (Неперервність СД)

СД в ЕП є неперервною на функцією.

 

Обидві леми були доведені в темі ФБЗ.

 

Вектори називаються ортогональними, якщо . Сім’я векторів називається ортогональною, якщо , . Сім’я векторів називається ортонормованою (ОНСВ), якщо вона ортогональна і при цьому .

 

Теорема 1. (Ортогональність основної тригонометричної системи)

Нехай - інтервал довжини і . Тоді сім’я векторів ортогональна в евклідовому просторі .

 

Доведення. Нагадаємо, що скалярний добуток в просторі визначається за формулою:

(2)

Нехай , тоді .

Теорема доведена.

 

Наслідок 1. (Ортонормованість основної тригонометричної системи)

Сім’я векторів ОНСВ в просторі .

 

Для доведення достатньо обчислити норму елемента:

.

 

Наслідок 2. (Ортонормована тригонометрична система)

Нехай , тоді сім’я векторів , є ОНСВ в просторі .

 

Гільбертовим простором (ГП) називається ЕП, що є повним у нормі, що узгоджена із скалярним добутком.

 

Теорема 2. (Фішера-Рісса про повноту простору)

Простір , де - обмежений проміжок дійсної осі, є гільбертовим.

 

Без доведення.

 

Нехай - ГП. Ряд в цьому просторі називається збіжним (збіжним до елемента ), якщо збігається послідовність (якщо послідовність , тобто при ), де - послідовність часткових сум.

 

Теорема 3. (Критерій збіжності ортогонального ряду)

Ортогональний ряд (тобто ряд, члени якого утворюють ортогональну систему) елементів ГП збігається тоді і тільки тоді, коли:

. (3)

 

Доведення. Оскільки

,

а далі твердження випливає з повноти просторів та .

Теорема доведена.

 

Нехай - ЕП, ряд елементів цього простору називається безумовно збіжним, якщо для будь-якої бієкції збігається ряд .

 

Теорема 4. (Критерій безумовної збіжності ортогонального ряду)

Ортогональний ряд елементів ГП безумовно збігається тоді і тільки тоді, коли виконується умова (3).

 

Доведення. Оскільки для будь-якої бієкції ряд є ортогональним і і все випливає з теореми 3.

Теорема доведена.

 

Нехай зафіксовано ОНСВ у ГП .

 

Теорема 5. (Коефіцієнти збіжного ряду)

Якщо ряд збігається і , то:

. (4)

 

Доведення. Внаслідок неперервності СД маємо:

.

Теорема доведена.

 

Ряд , що побудований для заданої ОНСВ ГП , коефіцієнти якого обчислюються за формулами (4) називається рядом Фур’є елемента (РФ) по ОНСВ .

 

З теореми 5 слідує, що будь-який збіжний в ГП ряд по ОНСВ є РФ своєї суми, але це не виключає, що він є РФ іншого елемента та не збігається до .

 

Теорема 6. (Нерівність Бесселя)

Нехай ОНСВ у ГП . Тоді справджується нерівність Бесселя:

. (5)

 

Доведення. Нехай . Тоді згідно з властивостями СД та нерівності Шварца маємо:

,

яке виконується , що і є рівносильним нерівності Бесселя (5).

Теорема доведена.

 

Теорема 7. (Про збіжність РФ)

Кожен РФ по ОНСВ збігається у ГП (але не обов’язково до відповідного елемента).

 

Доведення слідує з теореми 3 та нерівності Бесселя.

 

Теорема 8. (Про збіжність ортогонального ряду)

Ортогональний ряд в ГП збігається тоді і тільки тоді, коли він є РФ деякого елемента.

 

Доведення слідує з теорем 5 і 7.

 

Теорема 9. (Фішера-Рісса про збіжність ряду)

Нехай - ОНСВ в ГП . Якщо для послідовності збігається ряд , то існує такий елемент , що .

 

Доведення. З теореми 3 ряд збігається в просторі . За теоремою 5 він є РФ своєї суми.

Теорема доведена.

 

Теорема 10. (Рівність Парсеваля-Стєклова)

РФ елемента по ОНСВ у ГП збігається до вектора тоді і тільки тоді, коли справджується рівність Парсеваля-Стєклова:

. (6)

 

Доведення одержимо с тотожності:

, . (7)

 

Наслідок. (Рівність Парсеваля-Стєклова для тригонометричної системи)

Для тригонометричних РФ рівність Парсеваля-Стєклова набуває вигляду:

, (8)

або ж, враховуючи показникові форму запису коефіцієнтів Фур’є, тобто , рівність набуває вигляду:

. (9)

 

Сім’я векторів ГП називається повною, якщо не існує ненульового вектора : .

Сім’я векторів ГП називається замкненою, якщо :

. (10)

 

Теорема 11. (Зв’язок повноти та замкненості системи)

Для ОНСВ ГП наступні умови рівносильні:

1) Система векторів замкнена в ;

2) Система векторів повна в ;

3) РФ елемента має суму, яка дорівнює ;

4) виконується рівність Парсеваля-Стєклова.

 

Доведення проведемо за схемою 4) 3) 1) 2) 3).

4) 3) доведено в теоремі 10.

3) 1) слідує з означення замкненої системи.

1) 2) нехай внаслідок лінійності та неперервності СД елемент ортогональний замиканню лінійної оболонки системи векторів , яке згідно означення збігається з , отже ортогональний і собі .

2) 3) , нехай РФ , а тому він є РФ елемента .

Теорема доведена.

 

Нехай – ГП, – множина його векторів, що задовольняє умови:

1) ;

2) , ;

тоді множина називається підпростором.

Вектор називається ортогональним підпростору , якщо , будемо це записувати .

 

Теорема 12. (Ортогональність вектору підпростору)

Нехай повна ОНСВ у ГП і . Вектор .

 

Доведення. Необхідність. .

Достатність. і виконується рівність: .

Теорема доведена.

 

Нехай - підпростір ГП . Вектор називається ортогональною проекцією елемента на , якщо .

 

Теорема 13. (Про ортогональну проекцію)

Нехай повна ОНСВ у ГП і . Тоді існує єдина ортогональна проекція вектора на підпростір і справджується формула:

. (11)

 

Доведення. Якщо виконується (11), то , а тому , що й означає ортогональність . Доведемо від супротивного, що вона єдина: і при цьому .

Теорема доведена.

 

Нехай – довільний ГП. Упорядкований набір векторів простору називається орієнтованим трикутником, якщо . Вектори називаються його сторонами. Трикутник називається прямокутним, якщо в нього існують дві ортогональні сторони, що називаються катетами, третя сторона називається гіпотенузою.

 

Теорема 14. (Піфагора)

Якщо – катети, а – гіпотенуза прямокутного трикутника, то

. (12)

 

Для доведення достатньо піднести до квадрату рівність .

 

Наслідок. (Довжина катету та гіпотенузи)

У будь-якому прямокутному трикутнику довжина катету менша за довжину гіпотенузи.

 

Нехай – підпростір ГП , . Число називається найкращим наближенням вектора за допомогою векторів простору .

 

Теорема 15. (Про найкраще наближення)

Нехай повна ОНСВ у ГП і . Тоді сума Фур’є здійснює найкраще наближення вектора за допомогою векторів з , тобто

. (13)

При цьому

. (14)

 

Доведення. Нехай - сума Фур’є, розглянемо трикутник . За теоремою 13 , а - гіпотенуза цього трикутника з наслідку з теореми Піфагора виконується (13). Застосувавши саму теорему Піфагора до трикутника одержимо (14).

Теорема доведена.