 |
|
Аналитическое решение нестационарных задач теплопроводности
1.1.1. Охлаждение неограниченной пластины ( 
)
Постановка задачи: Дана пластина толщиной 2δ. Если толщина пластины мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пластину обычно считают неограниченной. При заданных граничных условиях коэффициент теплоотдачи α одинаков для всех точек поверхности пластины. Изменение температуры происходит только в одном направлении Х, в двух других направлениях температура не изменяется 
, следовательно, в пространстве задача является одномерной.
Начальное распределение температуры задано: t(x,0)=t0. Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой tж=const. На обеих поверхностях отвод тепла осуществляется при постоянном во времени коэффициенте теплоотдачи a. Отсчет температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды, т.е. 
. Так как задача в пространстве одномерная, то дифференциальное уравнение примет вид:
. (1.2)
Начальные условия: при τ = 0 υ = υо.
Рис. 1.1. К охлаждению плоской неограниченной пластины
При заданных условиях охлаждения задача становится симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины, как показано на рис. 1.1. При этом граничные условия на оси и на поверхности пластины запишутся так:
1) на оси пластины х = 0 
;
2) на поверхности пластины при х = δ 
.
Дифференциальное уравнение (1.2) совместно с начальными и граничными условиями однозначно формируют поставленную задачу. Решение дифференциального уравнения (1.2) с учетом начальных и граничных условий и даст искомое распределение температуры в плоской пластине.
Решением дифференциального уравнения (1.2) является:
, (1.3)
где 
- корни характеристического уравнения
; (1.4)
- безразмерное число Био.
Наиболее просто характеристическое уравнение (1.4) можно решить графическим методом. Обозначим левую часть уравнения (1.4) через 
, а правую – через 
. Пересечение котангенсоиды у1 с прямой у2 даст нам значение корней характеристического уравнения.
Рис. 1.2. К решению уравнения (1.4)
Из рис. 1.2 следует, что имеется бесконечное множество значений величины μn, причем каждое последующее больше предыдущего:
μ1< μ2< μ3<…< μn<…
1.1.2. Охлаждение бесконечного цилиндра( )
Цилиндр радиусом rо отдает тепло окружающей среде через свою боковую поверхность; коэффициент теплоотдачи α во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждения. Температура среды tж постоянна. Начальное распределение температуры задано: t(r,0)=t0. Отсчет температуры цилиндра будем вести, как и в предыдущем разделе, от температуры окружающей среды 
. Требуется найти распределение температуры внутри цилиндра.
При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид:
. (1.5)
Граничные и начальные условия:
при τ = 0 и 0 ≤ r ≤ ro 
;
при τ > 0 и r = 0 
;
при τ > 0 и r = rо 
.
Решением дифференциального уравнения (1.5) является:
, (1.6)
где Jо, J1 – функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка; - корни характеристического уравнения
; (1.7)
- безразмерное число Био.
Функции Бесселя первого рода n-го порядка (n=0,1,2,..) может вычисляться разложением в ряд:
.
При вычислении функции Бесселя число членов ряда задать равным 20.
1.1.3. Охлаждение шара( )
Рассмотрим охлаждение шара радиусом r0 в среде с постоянной температурой и с постоянным коэффициентом теплоотдачи α на его поверхности. Температура среды tж постоянна. Начальное распределение температуры задано: t(r,0)=t0. Отсчет температуры шара будем вести, как и в предыдущих разделах, от температуры окружающей среды . Требуется найти распределение температуры внутри шара.
При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид:
. (1.8)
Граничные и начальные условия:
при τ = 0 и 0 ≤ r ≤ ro ;
при τ > 0 и r = 0 ;
при τ > 0 и r = rо .
Решением дифференциального уравнения (1.8) является:
, (1.9)
где - корни характеристического уравнения
; (1.10)
- безразмерное число Био.