 |
|
Типовые задачи с решениями
Задача 1.1. Найти координаты образа 
и прообраза 
точки 
при повороте вокруг начала координат на угол 
.
Решение. Найдем аналитическое выражение поворота, данного в задаче:
Чтобы найти координаты образа точки 
, надо подставить в эти формулы вместо 
и 
данные координаты точки , т.е. 
. Тогда 
; 
, т.е.
.
Чтобы найти координаты прообраза точки , т.е. координаты точки, для которой теперь является образом, надо положить 
и найти и :
Умножив второе уравнение системы на 
и сложив с первым, найдем :
Подставляя найденное значение в одно из уравнений системы, найдем :
Таким образом, 
.
Ответ: , .
Задача 1.2. Найти уравнение образа 
и прообраза 
прямой 
при осевой симметрии с осью 
.
Решение. Аналитическое выражение осевой симметрии 
имеет вид:
Чтобы найти уравнение образа прямой 
, нужно выразить из этой системы и и подставить их в уравнение прямой :
. Опуская штрихи, получаем:
.
Чтобы найти уравнение прообраза прямой , запишем уравнение прямой (образа прямой ) в виде 
и подставим в него 
и 
из аналитического выражения :
.
Получили для прямых и одно и то же уравнение. Это не случайно, т.к. при осевой симметрии (так же как и при центральной) образ и прообраз любой фигуры всегда совпадают.
Ответ: , 
.
Задача 1.3. Даны прямые 
и 
. Найти такие точки и 
, что 
и 
, где 
.
Решение. 
, т.е. 
. Тогда учитывая, что 
, получаем:
(рис. 18).
Следовательно, чтобы найти координаты точки , надо сначала найти уравнение образа 
прямой 
при параллельном переносе на вектор 
, а затем решить систему уравнений прямых и 
.
Найдем аналитическое выражение параллельного переноса на вектор :
Найдем уравнение образа 
:
, т.е. 
.
Решаем систему 
Сложив почленно уравнения системы, получим:
.
Итак, 
.
Так как , то 
, т.е. − прообраз точки . Найдем координаты прообраза точки :
откуда 
, т.е. 
.
Ответ: , .