Главная | Обратная связь

Типовые задачи с решениями

 

Прежде чем приступить к решению задач, дадим несколько методических рекомендаций.

1) При решении задач методом геометрических преобразований часто пользуются следующими утверждениями:

а) (если точка принадлежит фигуре , то ее образ в движении принадлежит образу фигуры );

б) (образ пересечения двух фигур и в данном движении равен пересечению образов этих фигур).

2) Если в задаче дана трапеция, то используется параллельный перенос или гомотетия; если равнобокая трапеция – то осевая симметрия; параллелограмм – центральная симметрия или параллельный перенос; равнобедренный треугольник или угол – осевая симметрия (реже поворот); окружность – осевая симметрия или поворот; равносторонний треугольник или квадрат – поворот вокруг центра или вокруг одной из вершин; равнобедренный прямоугольный треугольник – поворот вокруг вершины прямого угла; две окружности равных радиусов – осевая симметрия или параллельный перенос; две касающиеся окружности равных радиусов – центральная симметрия; параллельные отрезки разной длины или две окружности неравных радиусов – гомотетия.

3) Не спешите с выбором преобразования, сначала проанализируйте условие и требование задачи: выделите фигуры, о которых идет речь в задаче, отношения, которыми они связаны; вспомните свойства и признаки понятий, содержащихся в требовании задачи; рассмотрите связь фигур, заданных в условии, с движениями или гомотетией. Только после этого приступайте к использованию конкретного вида преобразования.

 

Задача 1.1. Доказать, что сумма боковых сторон трапеции больше разности ее оснований.

Решение. Пусть − трапеция, − ее верхнее основание, − нижнее (рис. 19).

Докажем, что . Подвергнем параллельному переносу на вектор сторону . Тогда , где и .

Получим вспомогательный треугольник , для которого справедливо неравенство треугольника: .

Так как и , то . Поэтому . Так как , а (это равенство вытекает из того, что по определению параллельного переноса), то . Неравенство доказано.

Задача 1.2. На сторонах и параллелограмма во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники и . Доказать, что точки и лежат на одной прямой.

Решение. Для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой, используют центральную симметрию или гомотетию. Так как в задаче дан параллелограмм, то воспользуемся центральной симметрией относительно точки пересечения его диагоналей (рис. 20). Докажем, что .

 

 

. Найдем образы лучей и .

Так как − середина , то . Так как − середина , то . Тогда .

и сторона угла при центральной симметрии переходит в сторону угла , тогда вторая сторона угла перейдет в сторону угла , т.е. .

и сторона угла при переходит в сторону угла , тогда вторая сторона угла перейдет в сторону угла , т.е. .

Тогда применяя равенство б), получим:

, т.е. . Следовательно, по определению центральной симметрии точки и лежат на одной прямой.

Задача 1.3. На сторонах и равностороннего треугольника взяты соответственно точки и так, что . Найти величину угла между прямыми и .

Решение. Центр правильного треугольника равноудален от всех его вершин (т.е. ), (рис. 21). Рассмотрим поворот вокруг точки на угол .

.

.

Тогда .

.

Так как поворот сохраняет расстояние, то .

Итак,

, т.е. .

.

.

Учитывая, что угол поворота тупой, делаем вывод, что угол между прямой и ее образом равен .

Ответ: угол между прямыми и равен .