УРАВНЕНИЕ ПО ТОЧКЕ И НОРМАЛЬНОМУ ВЕКТОРУ

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

УРАВНЕНИЕ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

УРАВНЕНИЕ ПО ТОЧКЕ И УГЛОВОМУ КОЭФФИЦИЕНТУ

УРАВНЕНИЕ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

УРАВНЕНИЕ ПО ТОЧКЕ И НОРМАЛЬНОМУ ВЕКТОРУ

6. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

7. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ

8. УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ:

9. УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ:

Вопросы к блоку по математике (I курс, осенний семестр).

Основные свойства определителей. Вычислить определитель двумя способами.

Что такое миноры и алгебраические дополнения элементов определителя? Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

Основные операции над матрицами. Определение обратной матрицы. Условие существования и способ нахождения обратной матрицы.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Условие его применимости

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (рассмотреть 3 случая).

Решение системы линейных уравнений матричным способом.

Что называется вектором и модулем вектора? Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными?

Линейные операции над векторами. Геометрический смысл суммы и разности векторов.

Что такое базис на плоскости и в пространстве? Определение координат вектора. Действия над векторами в координатах. Определение и условие коллинеарности двух векторов.

Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора (определение и вычисление через координаты). Основное соотношение между ними.

Скалярное произведение, его свойства, выражение через координаты.

12. Условие перпендикулярности двух векторов.

Векторное произведение, определение, свойства, выражение в координатной форме.

Смешанное произведение. Определение, выражение в координатной форме. Доказать, что смешанное произведение равно объёму параллелепипеда.

Условие компланарности векторов.

Высшая математика ( I курс, осенний семестр)

Билет № 1

Основные свойства определителей. Примеры.

Найти уравнение перпендикуляра, восставленного из середины отрезка, концы которого (1, -2); (3,4).

Скалярное произведение, его свойства, выражение через координаты. Условие перпендикулярности векторов.

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3,-2, 0); В(3,-3,1); С(5,0,2). Найти его площадь.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору (вывод).

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1, 2, 1) параллельно плоскости 5x+3y-z-12=0.

Высшая математика ( I курс, осенний семестр)

Билет № 2

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (рассмотреть 3 случая).

Решить систему методом Гаусса

Смешанное произведение векторов. Определение, выражение в координатной форме

(вывод). Условие компланарности векторов.

4. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3,-2,0); В(3,-3,1); С(5,0,2).

Найти координаты четвёртой вершины.

Эллипс и гипербола. Канонические уравнения. Графики.

Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(2,-3,5) параллельно прямой

x = 4 - 3 t; y = 1+ 2 t; z = -2 – t.

Высшая математика (I курс, осенний семестр)

Билет № 3

Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Привести пример.

2. Даны матрицы В= А= (2 3 4). Найти АВ.

3. Что называется вектором и модулем вектора? Какие векторы называются коллинеар-

ными, компланарными, равными?

Даны вершины четырёхугольника А(1,2,3); В(7,3,2); С(-3,0,6); D(9,2,4). Выяснить, будут ли его диагонали перпендикулярны.

Параметрические уравнения прямой в пространстве (вывод).

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 2; -2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3x – 2y –z + 1 = 0; x – y – z = 0.

Высшая математика (I курс, осенний семестр)

Билет № 4

1. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Условие его применимости (случаи ).

2. Дана матрица А=

3. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

4. Вектор , угол между векторами

Зная, что

5. Парабола (канонические уравнения – 4 случая).

6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

Высшая математика (I курс, осенний семестр)

Билет № 5

1. Определение, условие существования и способ нахождения обратной матрицы.

2. Дана матрица А= Найти Сделать проверку.

3. Определение проекции вектора на ось. Направляющие косинусы вектора (определение и вычисление через координаты). Основное соотношение между ними.

4. Найти длину вектора зная, что и - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

5. Канонические уравнения прямой линии в пространстве (вывод).

6. Вычислить угол между прямой и плоскостью

6x – 3y + 2z = 0.

Высшая математика (I курс, осенний семестр)

Билет № 6

1. Решение системы линейных уравнений матричным способом.

Вычислить определитель двумя способами

Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Действия с векторами в координатах. Условие коллинеарности векторов.

Найти длину и направляющие косинусы вектора

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

6. Доказать, что прямая и плоскость 4x+8y+6z – 3=0

параллельны.

Высшая математика (I курс, осенний семестр)

Билет № 7

1. Основные операции над матрицами. Обратная матрица (определение и правило нахождения).

2. Решить систему .

3. Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение через координаты.

4. Даны вершины треугольника АВС: А(-1; -2; 4); В(-4; -2; 0); С(3; -2; 1).

Определить угол при вершине В.

5. Уравнения прямой по двум точкам в пространстве (вывод).

6. При каком значении С плоскости 3x - 5y + Cz - 2=0 и 2x - 15y – Cz - 3=0

перпендикулярны?

Высшая математика (I курс, осенний семестр)

Билет № 8

1. Уравнение прямой на плоскости по точке и угловому коэффициенту (вывод).

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

x – 3y + 2 =0; 5x + 6y – 4 =0 и параллельной прямой 4x + y – 5 =0.

3. Векторное произведение векторов, его свойства, выражение через координаты.

4. Вычислить скалярное произведение вектора на вектор , если и .

5. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .