Частные случаи общего уравнения прямой

Прямая на плоскости и различные способы её задания.

Пусть ∆- некоторая прямая на плоскости. Любой ненулевой вектор , параллельный прямой ∆ называется направляющим вектором этой прямой.

Если задана система координат Оху, направляющий вектор прямой ∆ и радиус-вектор некоторой фиксированной точки прямой ∆, то радиус-вектор произвольной точки M(x,y) этой прямой задаётся формулой:

, где , (1)

которая называется векторно-параметрическим уравнением прямой ∆.

Из него легко получаются параметрические уравнения прямой в координатах:

(2)

Если то можно записать каноническое уравнение прямой:

(3)

Число (если ∆ не параллельна Oy) называется угловым коэффициентом прямой ∆. Если ∆ Oy, то углового коэффициента не существует. Если -это угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox, то .

Если задан угловой коэффициент k прямой ∆ и некоторая точка M_o(x_o,y_o), то уравнение прямой с угловым коэффициентомможно задать так:

y-y_o=k(x-x_o) (4)

Если M_o(O,b) – это точка пересечения прямой с осью Oy, то это уравнение примет вид: y=kx+b.

Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид:

, (5)

где а и b соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Оx и Оy.

Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид:

(6)

При этом угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и , вычисляется по формуле:

Любая прямая может быть задана уравнением:

Ax+By+C=0, ( ), (7)

которое называется общим уравнением прямой. При этом вектор ортогонален прямой и называется её нормальным вектором.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Прямая на плоскости. Стр. 1

Частные случаи общего уравнения прямой

Значение коэффициентов	Вид уравнения	Положение прямой
С=0	Ax+By=0	проходит через начало координат
А=0	By+C=0 (y=b)	параллельна оси Ох
В=0	Ах+C=0 (х=а)	параллельна оси Оу
A=C=0	y=0	совпадает с осью Ox
В=C=0	х=0	совпадает с осью Oу

Если задан нормальный вектор прямой, проходящей через точку M_o(x_o,y_o), то уравнение прямой имеет вид:

(8)

Угол между двумя прямыми и задаётся формулой:

или , где , - угловые коэффициенты этих прямых.

Условия параллельности двух прямых: , .

Условия перпендикулярности двух прямых: , .

Расстояние от точки M_o(x_o,y_o) до прямой Ax+By+C=0 вычисляется по формуле: