Главная | Обратная связь

ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

§1. Уравнение кривой и поверхности.

Определение. Пусть g – некоторая кривая на плоскости, а j(x, y) – функция двух переменных. Говорим, что уравнение

j(x, y) = 0 (1)

есть уравнение кривой g в неявном виде, если координаты любой точки MÎg удовлетворяют (1), и обратно, каждая пара чисел (x, y), удовлетворяющих (1), задает точку M(x, y) на кривой.

Подчеркнем, что при составлении уравнений следствие обязательно надо проверять в обе стороны.

Пример. Составим уравнение окружности g радиуса R с центром в точке O¢(a, b). Пусть M(x, y) – произвольная точка окружности g. Тогда

R=|O¢M|= Û

Û (x – a)² + (y – b)² = R ². (2)

Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (2), то |O¢M|=R, а значит, MÎg. Таким образом (2) и есть уравнение нашей окружности.

Если из уравнения (1) удается выразить одну координату через другую, то получим уравнение в явном виде:

y = f (x), (3)

Не всегда удается привести неявное уравнение кривой к явному виду. В каком случае это возможно гласит теорема о неявной функции, изучаемая в курсе математического анализа. Например, с уравнением окружности это сделать нельзя.

Предположим, что точка движется по кривой. Тогда её координаты изменяются со временем:

(4)

При этом параметр t изменяется в определенных пределах: tÎI, где I – интервал числовой прямой. Говорим, что (4) есть параметрические уравнения кривой g, если точка M(x, y) лежит на кривой g тогда и только тогда, когда найдется такое tÎI, что будут выполнены оба равенства (4) одновременно. При этом, обязательно к системе (4) надо добавлять интервал изменения параметра. Физический смысл параметра в (4) не всегда время.

Пример 2. Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат имеют вид:

(5)

Не важно, что для одной и той же точки может найтись несколько (или даже бесконечно много) соответствующих ей значений параметра. Это не запрещается.

Пример 3.Уравнения

 

задают полукубическую параболу. Уравнения

(*)

тоже задают полукубическую параболу, но не всю, а только её верхнюю половину. Для точки M, лежащей ниже оси Ox, не найдется такого t, для которого выполнено (*).

Определение. Пусть F – некоторая поверхность в пространстве, а F(x, y, z) – функция от трех переменных. Говорим, что

F(x, y, z) = 0 (6)

есть уравнение поверхности F в неявном виде, если координаты любой точки MÎF удовлетворяют (6), и обратно, каждая тройка (x, y, z) чисел, удовлетворяющих (6), задает точку M(x, y, z) на поверхности.

Так же, как и для кривой, при составлении уравнения поверхности, необходимо проверять следствие в обе стороны.

Упражнение. Самостоятельно докажите, что сфера радиуса R с центром в точке O¢(a, b, с) задается уравнением

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R ². (7)

Если из уравнения (6) удается выразить одну переменную через две другие, то получим уравнение поверхности в явном виде: z=f(x, y). Вопрос, когда это возможно сделать, изучается в курсе математического анализа. Уравнение сферы невозможно переписать в явном виде.

Если уравнения двух множеств объединить вместе, то получится система из двух уравнений, которая задаёт их пересечение.

Пример 4. Система уравнений

 

задает окружность в плоскости Oxy. Первое уравнение системы задает сферу с центром в начале координат, а второе – плоскость Oxy. Их пересечение есть окружность g. Если подставить
z = 0 в первое уравнение, то получим

x² + y² = R ². (* * )

Казалось бы, можно сказать, что это и есть уравнение окружности g. Но это не так. Уравнение (**) задает цилиндрическую поверхность (см. параграф «цилиндрические и конические поверхности»). Подставляя z=0 в первое уравнение системы, нельзя при этом отбрасывать само уравнение z=0.