Уравнение прямой на плоскости.
Прямую l на плоскости можно задать а) с помощью точки MoÎ l и ненулевого вектора ½½ l ; тогда можем написать, что l ={M½ ½½ }; (*) б) с помощью точки AoÎ l и ненулевого вектора ^ l ; тогда можем написать, что l ={M½ ^ }; (**) в) с помощью двух точек Mo, M1Î l . Вектор ||l называется направляющим вектором прямой, а вектор ^ l называется вектором нормали к прямой. Теорема 1. 1. Прямая l, проходящая через точку Mo(xo, yo), и имеющая направляющий вектор (a1, a2), задается уравнением = , (9 ) которое называется каноническим уравнением прямой, или параметрическими уравнениями: (10 ) которые можно записать в векторном виде так: = + t, tÎR, (10¢ ) где = – радиус-вектор точки Ao. 2. Прямая, проходящая через точку Mo(xo, yo), и имеющая вектор нормали (A, B), задается в декартовой СК уравнением A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (11 ) 3. Прямая, отсекающая на координатных осях отрезки длины a ¹ 0, b ¹ 0, задается уравнением + = 1 , (12 ) (уравнение прямой в отрезках). Доказательство. 1. Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда (x – xo, y – yo)||(a1, a2). По второму признаку коллинеарности векторов это равносильно (9). Обратно, если для координат точки M(x, y) выполнено (9), то по тому же признаку ||, а значит, MÎl . По первому признаку коллинеарности векторов || Û $ tÎR, такое что = t. В координатах последнее равенство имеет вид x – xo = ta1, y – yo = ta2, Для того, чтобы получить уравнение (10) осталось перенести xo и yo в другую часть равенства. 2. Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда (x – xo, y – yo) ^ (A, B) Û · = 0, а в координатах это условие как раз имеет вид (12). Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (12), то ^ , а значит, MÎl . 3. Условие означает, что прямая проходит через точки A(a, 0) и = Û + = 1. При ответе на экзамене недостаточно написать уравнение прямой: требуется обязательно указать, что означает каждый из параметров, входящих в уравнение. Например, выписав каноническое или параметрическое уравнение прямой, следует указать, что (xo, yo) – это координаты точки, через которую проходит прямая, а (a1, a2) – координаты направляющего вектора. Без данных пояснений ответ в виде выписанного уравнения расценивается, как отсутствие ответа. Следствие 1. Прямая, проходящая через две точки Mo(xo, yo) и M1(x1, y1), задается уравнением = , (13 ) Действительно, если прямая проходит через две точки Mo(xo, yo) и M1(x1, y1) , то вектор (x1– xo, y1– yo) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Подставляя его координаты в (9) вместо a1, a2, получим (13). Следствие 2. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида Ax + By + C = 0 , (14) которое называется общим уравнением прямой. И обратно, любое уравнение вида (14) на плоскости задает прямую. Доказательство. Любую прямую на плоскости можно задать с помощью точки и вектора нормали. Тогда ее уравнение в декартовой СК будет иметь вид (12). Раскроем скобки: Ax + By – Axo– Byo = 0 и обозначим C = – Axo– Byo= const . Получим уравнение (14). Обратно, пусть некоторое множество l определяется уравнением (14), и Ao(xo, yo) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (14): Axo+Byo+C=0 Þ C=–Axo–Byo. Подставляя это значение в (14) получим (12), а это уравнение, как уже известно, определяет прямую. Попутно мы выяснили геометрический смысл коэффициентов A и B в общем уравнении прямой: это координаты вектора нормали к прямой: (A, B). И этот факт чрезвычайно важен при исследовании положения прямой и при решении различных задач про прямую на плоскости. Но этот факт верен только в случае декартовой СК. Если СК на плоскости не является декартовой, то это следствие можно доказать с помощью уравнения (9). В дальнейшем, СК предполагается декартовой, если не оговорено противное. Рассмотрим различные частные случаи общего уравнения прямой. 1. C = 0 Û l : Ax + By = 0. Тогда уравнению удовлетворяют координаты точки O(0, 0), т.е. прямая проходит через начало координат (рис. 1). 2. A = 0 Û By + C = 0 Û y = – C /B. Прямая l||Ox (рис. 2). 3. B = 0 Û Ax + C = 0 Û x = – C /A. Прямая l||Oy (рис. 3). 4. B ¹ 0 . Тогда (14) можно переписать так: y = – x –. Обозначим k = – A/B, q = – C /B, и получим уравнение y = k x + q, (15) которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловым называется коэффициент k. Выясним почему. Пусть P(x1, y1), Q(x2, y2) – две произвольные точки на прямой l, где y2 ³ y1. Подставим их координаты в уравнение прямой: y1=kx1+q, y2=kx2+q. Вычтем из второго равенства первое: y2 – y1= k (x2 – x1). Поскольку мы исключили случай l½½Oy, то x2¹x1 Þ k = . (*** ) Выберем на прямой l направление, соответствующее возрастанию ординаты y, и назовем его положительным. Пусть a – угол между положительным направлением оси Ox и положительным направлением прямой l. Назовем его углом наклона прямой. Пусть S – точка с координатами (x2, y1).
1 случай: x2 > x1. Тогда y2 – y1 = QS, x2 – x1 = PS и из DPQS находим, что k = QS/PS = tg a. 2 случай: x2< x1. Тогда y2 – y1= QS, x2 – x1= – PS Þ k = – QS/PS = = – tg b , где b = ÐQPS. Но b = p – a Þ – tg b = tg a . Значит, как и в первом случае k = QS/PS = tg a. Итак, мы доказали, что k есть тангенс угла наклона прямой. Поэтому он называется угловым коэффициентом. А геометрический смысл коэффициента q очевиден: это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|