Главная | Обратная связь

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Пусть две прямые на плоскости заданы общими уравнениями:

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 ,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0 .

Тогда мы сразу можем сделать вывод, что (A₁, B₁) и (A₂, B₂) – это векторы нормали к l₁ и l₂.

Теорема 2. 1. l₁||l₂ Û = ¹ .

2.l₁= l₂ Û = = .

3. l₁^ l₂ Û A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

4. угол между l₁ и l₂ вычисляется по формуле

cos a = = . (16)

Доказательство. 1, 2. Очевидно, что прямые параллельны или совпадают тогда и только тогда, когда их векторы колинеарны, а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно

= = l . (*)

При этом, прямые будут совпадать Û у них есть общая точка M_o(x_o, y_o), т. е. если одновременно выполняется

A₁x_o + B₁y_o + C₁ = 0,

A₂x_o + B₂y_o + C₂ = 0.

Вычтем из первого равенства второе, домноженное на l :

(A₁– lA₂)x_o + (B₁– lB₂)y_o + C₁– lC₂ = 0.

В силу (*) обе скобки равны нулю Þ C₁– lC₂ = 0 Û C₁/C₂ = l. (**) Объединяя (*) и (**), получаем требуемый результат.

Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения прямых l₁ и l₂ пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число l, мы получим второе уравнение. Значит, эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.

3, 4. Напомним, что углом между двумя прямыми называется меньший из двух углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол a между прямыми находится в пределах 0£a£ p/2. Пусть b –

угол между векторами нормали. Тогда 0£b£ p.

Очевидно, что b совпадает с одним из двух углов, которые образуют прямые при пересечении.

1 случай: 0£b£ p/2. Тогда a=b Þ

cos a = cos b = .

2 случай: p/2<b£ p. Тогда a=p–b и cos b < 0 Þ

cos a = cos (p – b) = – cos b =

=½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю:

неотрицательная величина от модуля не изменится. Последнее равенство в (16) – эта та же формула, только расписанная в координатах. В частности, из (16) следует, что l₁^ l₂ Û · = 0 Û A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Упражнение.Самостоятельно напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Теорема 3.Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом

l₁: y = k₁x + q₁, l₂: y = k₂ x + q₂.

Тогда угол между ними вычисляется по формуле

tg q = .

Принимаем эту теорему без доказательства.