 |
|
Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
Определение. Говорим, что общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0 , (14)
имеет нормальную форму, если A2+B 2 = 1. Это равносильно тому, что вектор (A, B) – единичный.
Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на :
x + y + = 0.
Тогда 2+ 2= 1.
Теорема 4. Пусть прямая l определяется уравнением (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M(x1, y1) до прямой вычисляется по формуле
h =½Ax1+ By1+ C½ . (17)
Следствие. Если прямая задана произвольным уравнением вида (14), то
h = . (17¢ )
Доказательство. Пусть (A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то ½½ = 1. Пусть Mo(xo, yo) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN на прямую l . Пусть a =Ð( , ), b =ÐMMoN .
1 случай. Точка M и вектор лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда
h =½MN½=½MMo½·sin b =½½·sin( – a) =½½·cos a·½½= ·
(мы домножили на ½½, поскольку эта величина равна единице). Находим, что (x1– xo, y1– yo) Þ
h = A(x1– xo) + B(y1– yo) = Ax1+By1+C – (Axo+Byo+C)
(мы добавили и отняли C ). Поскольку MoÎ l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем
h = Ax1+ By1+ C.
2 случай. Точка M и вектор лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда b = a – p/2 Þ sin b = – cos a и те же самые вычисления дают
h = – · = –Ax1 – By1 – C.
Поскольку h – это расстояние, то h ³ 0. Это
значит, что во втором случае Ax1+By1+C<0 (равенство исключается, т.к. MÏ l). Поэтому
h =½Ax1+ By1+ C½ .
Эта формула подойдет и к первому случаю.
Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax1+ By1+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M1, M2 выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных (Û пересекает отрезок M1M2 прямую l или нет).
§5. Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние
от точки до плоскости.
Плоскость p в пространстве можно задать
а) с помощью точки MoÎ p и ненулевого вектора ^p; тогда можем написать, что p ={M½ ^}; (*)
б) с помощью точки MoÎl и двух неколлинеарных векторов и , параллельных p;
в) с помощью трех точек Mo, M1, M2Îp , не лежащих на одной прямой.
Теорема 5. 1.Плоскость p, проходящая через точку Mo(xo, yo, zo), перпендикулярно вектору (A, B, C), задается в декартовой СК уравнением
A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0. (21 )
2. Плоскость p, проходящая через точку Ao(xo, yo, zo), параллельно двум неколлинеарным векторам изадается уравнением
=0 (22)
3.Плоскость p, отсекающая на координатных осях ненулевые отрезки a, b, c задается уравнением
+ + = 1 (23)
(предполагается, что a, b, c могут быть отрицательными).
Доказательство. 1.Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда ^ Û · = 0. Поскольку (x–xo, y–yo, z–zo), то последнее равенство в координатах как раз имеет вид (22).
Обратно, если координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (21), то ^ Û MÎp.
2. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда компланарен векторам и , а это равносильно тому, что смешанное произведение этих трех векторов равно нулю: = 0. В координатах последнее равенство как раз имеет вид (22).
Обратно, если координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (22), то векторы , , компланарны, а значит MÎp.
3. Условие означает, что плоскость проходит через точки A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). Векторы (-a, b, 0) и (-a, 0, c) параллельны плоскости. Подставим их координаты в (23):
=0
Самостоятельно раскройте определитель и приведите получившееся уравнение к виду (24).
Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.
Следствие.Любая плоскость определяется уравнением вида
Ax + By + Cz + D = 0 , (25)
которое называется общим уравнением плоскости. И обратно, всякое уравнение вида (25) определяет плоскость.
Упражнение. Доказательство этого следствия очень похоже на доказательство следствия 2 из §1. Докажите его самостоятельно.
Рассмотрим частные случаи плоскостей, задаваемых уравнениями вида (25).
1. D = 0. Тогда уравнению Ax+By+Cz=0 удовлетворяют координаты точки O(0, 0, 0). Плоскость проходит через начало координат (рис.1).
2. C = 0.Имеем уравнение Ax + By +D = 0. Тогда вектор нормали к плоскости – (A, B, 0) и ^Oz, а значит, p½½ Oz (рис.2).
Аналогично, при B=0 получим p½½ Oy, а при A = 0 – p½½ Ox.
3.A = B = 0. Имеем уравнение Cz+D=0, которое равносильно
z = – C /D. Тогда p^Oz (рис.3).
Аналогично, при A = C = 0 будет p ^Oy, а при B = C = 0 – p ^Ox.
Теорема 6.Пусть плоскость p задаётся общим уравнением (25). Тогда расстояние от точки M(x1, y1, z1) до плоскости вычисляется по формуле
h = . (26)
Эта теорема доказывается точно так же, как и теорема 4. Знак выражения зависит от того, в каком полупространстве относительно плоскости находится точка M.