Главная | Обратная связь

Уравнение прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно задать

а) с помощью точки MÎ l и ненулевого вектора ½½ l, который называется направляющим вектором прямой; тогда можем написать, что

l ={M½ ½½ }; (*)

б) как пересечение двух плоскостей l = = p₁I p₂ ; в этом случае l будет задаваться системой из двух уравнений (см.§1); это равносильно заданию точки M_oÎ l и двух векторов перпендикулярных прямой.

Задать прямую в пространстве с помощью одного вектора нормали нельзя: через данную точку перпендикулярно данному вектору проходит бесконечно много прямых.

Теорема 6. 1. Прямая l, проходящая через точку M_o(x_o, y_o, z_o), параллельно вектору (a₁, a₂, a₃) задается уравнением

= = , (28 )

(каноническое уравнение), или параметрическими уравнениями

(29 )

которые можно записать в векторном виде: = + t, tÎR, где = – радиус-вектор точки M_o.

2. Прямая, проходящая через точку M_o(x_o, y_o, z_o), перпендикулярно двум векторам нормали (A₁,B₁,C₁) и (A₂,B₂,C₂) задается в декартовой СК системой уравнений

(30)

Доказательство. 1, 2.Доказательство этих пунктов дословно повторяет доказательство пунктов 1 и 2 из теоремы 1, с той лишь разницей, что у всех точек и векторов добавляется еще третья координата.

3. Первое из уравнений системы (31) задает плоскость p₁, проходящую через точку M_o, перпендикулярно вектору , а второе уравнение – плоскость p₂, проходящую через точку A_o , перпендикулярно вектору . Пересечение этих плоскостей и задает нашу прямую.

§11. Взаимное расположение прямой и плоскости
в пространстве.

Пусть плоскость p задана общим уравнением, а прямая l – канони­ческим уравнением:

p: Ax +By +Cz +D = 0 , l: = = .

Тогда сразу можем отметить, что (A, B, C) – это вектор нормали к плоскости p, (a₁, a₂, a₃) – направляющий вектор прямой l и точка M_o(x_o, y_o, z_o)Î l.

Теорема 7. 1.lÎp Û

2. l½½ p Û

3.l^p Û = = . (33)

4. Угол между l и p вычисляется по формуле

sin a = = . (34)

Доказательство. 1, 2.Очевидно, что

прямая параллельна плоскости или лежит в ней тогда и только тогда, когда ^ Û
Û · = 0, а именно это и означает равенство (32.1). При этом, если выполнено (32.2), то M_o(x_o, y_o, z_o)Îp, а значит, и вся прямая будет лежать в плоскости. Если выполнено (32.3) , то M_oÏ p, а значит, и lÏp.

 

3. Очевидно, что l^p Û ½½ , а (33) как раз представляет собой условие коллинеарности этих векторов.

4.Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Поэтому, если a – угол между l и p, то 0£a£p/2, и sin a ³ 0. Обозначим b = Ð( , ). Тогда возможны два случая: a=p/2 – b или a=b–p/2. Оба случая изображены на рисунках.

В первом случае имеем

sin a = cos b = ,

а во втором случае –

sin a = – cos b =½cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю.