 |
|
Спектральная плотность излучения
. (10.2)
Тогда
. (10.3)
Пусть некоторый объем с телами окружен адиабатической оболочкой. В конце концов между этими телами и излучением в полости установится термодинамическое равновесие. Температура всех тел – постоянная, излучение имеет равновесную спектральную плотность.
Й закон Кирхгофа.
Равновесная спектральная плотность wзависит только от температуры T и не зависит от свойств тел в полости и свойств самой полости:
. (10.4)
Поглощательной способностью Aназывается отношение энергии, поглощаемой участком поверхности тела за 1 с в интервале частот 
ко всей энергии излучения, падающей за 1 с в том же интервале частот на этот участок. Падающее излучение – изотропно.
Й закон Кирхгофа.
В состоянии равновесия поглощаемая за 1 с участком поверхности энергия излучения должна быть равна энергии, излучаемой за 1 с тем же участком:
, (10.5)
где M– спектральная плотность энергетической светимости.
Коэффициент с/4 получается после интегрирования по телесному углу. Абсолютно черным телом называется тело, полностью поглощающее всё падающее на него излучение, т.е. 
и 
.(10.6)
Задача нахождения w(T) сводится к определению закона излучения абсолютно черного тела (АЧТ). Модель АЧТ (рис.10.1). Излучение из отверстия с хорошей точностью можно рассматривать как излучение АЧТ.
Классическая физика не может объяснить экспериментально измеренную величину w(T), за исключением предельных случаем (формула Рэлея-Джинса (малые частоты), формула Вина (большие частоты)). Общая формула была получена Планком и положила начало квантовой теории.
Концентрация мод колебаний. Пусть задана кубическая полость с ребром длиной L. Условием образования в ней стоячих волн является следующее (без учета каких бы то ни было скачков фаз при отражении):
(10.7)
или
(10.8)
где 
– целые числа.
Количество волн dN для волновых чисел в интервале 
равно числу целых чисел в интервале 
. Отсюда следует, что
. (10.9)
В сферической системе координат:
. (10.10)
Концентрация стоячих волн равна:
(10.11)
или с учетом двух независимых поляризаций:
– (10.12)
– концентрация стоячих волн (мод, колебаний, степеней свободы).При средней энергии <>, приходящейся на одну степень свободы плотность энергии стоячих волн равна:
, (10.13)
поэтому нахождение равновесной спектральной плотности сводится к определению средней энергии в моде.
Для гармонического осциллятора 
, где k – постоянная Больцмана. Тогда
– формула Рэлея-Джинса.(10.14)
При малых частотах формула Рэлея-Джинса хорошо согласуется с экспериментом. При спектральная плотность w. Такая расходимость спектральной плотности энергии (как, впрочем, и полной объемной плотности энергии) называется ультрафиолетовой катастрофой. В.Вин предположил, что не все моды возбуждены, а их относительное число подчиняется распределению Больцмана:
. (10.15)
Тогда 
(10.16)
Вин заключил, что энергия моды 
. Гораздо позже был найден коэффициент пропорциональности – постоянная Планка:
. (10.17)
Тогда
.Формула Ви (10.18)
Формула Вина хорошо работает при достаточно высоких частотах.
53 В 1900 г. М.Планк получил формулу, интерпретирующие вышеуказанные закономерности: 
Форм. Планка(10.19)
Эта формула полностью описывает излучение АЧТ и в предельных переходах формулы Рэлея–Джинса и Вина хорошо с ней согласуются (рис.10.2).
Найдем полную объемную плотность излучения:
(10.20)
Или для энергетической светимости АЧТ:
З. Стефана – Больцмана.(10.21)
– постоянная Стефана – Больцмана. (10.22)
Найдем максимум спектральной плотности излучения в единицах длин волн 
:
. (10.23)
Максимум получаем из условия 
. Получаем:
З. смещения Вина.(10.24)
При Т 6000 К длина волны максимума излучения max 0,55 мкм.
54 Элементы квантовой теории. Формула Планка не может быть получена в рамках классической теории. Ее строгий вывод можно провести только с точки зрения квантовой теории. Ниже будет продемонстрирован вывод формулы Планка на основе элементарных квантовых представлений об излучении и поглощении света. Пусть оболочка полости тела и излучение в этой полости находятся в термодинамическом равновесии. Предположив, что энергия может излучаться и поглощаться определенными дискретными порциями (квантами), мы должны ввести существование дискретных уровней энергии атома Е2 и Е1, при переходе между которыми и происходит поглощение и испускание света. Рассмотрим атомные переходы с частотой перехода (или ) между двумя уровнями (индекс 2 – верхний уровень, 1 – нижний): 
(10.25)
В данных процессах можно говорить лишь о вероятности переходов атомов в возбужденное состояние и обратно. В условиях динамического равновесия обмен квантами между уровнями должен быть уравновешен для каждой моды (частоты) в отдельности (принцип детального равновесия). В рассматриваемой системе возможны два типа переходов между уровнями (рис.10.3):
1.Спонтанные переходы.
2.Вынужденные (индуцированные) переходы.
Cпонтанные переходы происходят независимо от падающего на атом излучения и только сверху вниз. Скорость уменьшения числа атомов на верхнем уровне 
при этом определяется произведением вероятности этого процесса и числа атомов N2 на верхнем уровне:
. (10.26)
Коэффициент А21 называется коэффициентом Эйнштейна для спонтанных переходов. Он обратно пропорционален времени жизни атома на этом энергетическом уровне. Спонтанное излучение некогерентно.Вынужденные переходы (как сверху вниз – вынужденное излучение, так и наоборот – вынужденное поглощение) могут происходить только с поглощением кванта энергии, т.е. под влиянием внешнего (индуцирующего) излучения. Скорости изменения количества атомов на соответствующих уровнях при вынужденных переходах определяются через спектральную плотность индуцирующего излучения:
(10.27)
Коэффициенты В21 и В12 называются коэффициентами Эйнштейна для вынужденного излучения и вынужденного поглощения соответственно. При вынужденном излучении все характеристики индуцированного и индуцирующего квантов одинаковы (направление, частота, фаза, поляризация), поэтому вынужденные переходы приводят к когерентному излучению системы.
Согласно принципу детального равновесия:
(10.28)
Число атомов на уровнях определяется распределением Больцмана:
. (10.29)
Подставляя выражения (10.26), (10.27) и (10.29) в (10.28), получаем для спектральной плотности энергии:
.(10.30)
Но при стремлении температуры 
плотность энергии 
. Это возможно лишь при 
. Поэтому
.(10.31)
Отношение коэффициентов Эйнштейна А21/В21 может быть получено только в рамках строгой квантовой теории излучения. Но мы поступим проще. При малых частотах выражение (10.31) должно переходить в формулу Рэлея–Джинса (10.14). Сравнивая эти соотношения, получим:
. (10.32)
Подставляя (10.32) в (10.31), получаем окончательно формулу Планка (10.19):
(10.19)
55 Инверсия населенностей. В условиях термодинамического равновесия в соответствии и распределением Больцмана концентрация частиц на верхнем уровне всегда меньше, чем на нижнем. Поэтому интенсивность излучения в этом случае уменьшается по мере проникновения вглубь среды согласно закону Бугера. Если же в среде каким-то образом выполнено условие 
(т.е. создана инверсия населенностей), то интенсивность волны нарастает по мере ее распространения, т.к. при этом переходы с вынужденным излучением происходят чаще, чем поглощательные переходы. При тождественности индуцирующих и индуцированных квантов когерентные свойства светового пучка сохраняются. В этом заключается принцип квантового усилителя. Среда с инверсией населенностей называется активной средой. При создании инверсия населенностей система «активная среда – поле излучения» становится термодинамически неравновесной.
Принцип работы лазера (оптического квантового генератора) основан на трех фундаментальных идеях. Первая идея связана с использованием вынужденного испускания света атомными системами. Вторая идея заключается в применении сред с инверсией населенностей, т.е. термодинамически неравновесных систем. Третья идея заключается в использовании в лазере положительной обратной связи для превращения усиливающей системы в генерирующую. В качестве положительной обратной связи (лазерного резонатора) обычно используют систему типа интерферометра Фабри–Перо.
56 Квантовая механика определила дискретность уровней энергии осциллятора. Предельным значением этой энергии является распад осциллятора (ионизация атома), попадание электрона в зону проводимости (внутри металла) и далее. Одним из первых приложений квантовой теории было истолкование законов фотоэффекта.
В 1888 г. Герц обнаружил, что электрический разряд между двумя проводниками происходит значительно сильнее, когда электроды освещаются ультрафиолетовым светом. Физик Гальвакс указал, что это явление обусловлено ионизацией окружающего электроды газа зарядами, вырванными под действием света. В этом же году итальянский физик Аугусто Риги сделал новое открытие: проводящая пластина, освещенная пучком ультрафиолетовых лучей, заряжается положительно. Он же и ввел сам термин «фотоэлектрический эффект», но не смог правильно объяснить это явление. Позднее А.Г.Столетов систематизировал все эти явления на основе опыта, схема которого 
приведена на рис.11.1. В исследовании изучалось прохождение тока через конденсатор из двух цинковых пластин при освещении одной из них (катода) светом ртутной лампы. В 1898 г. физики Леннард и Томсон отклонения зарядов в электрическом и магнитном полях определили удельный заряд заряженных частиц, вырываемых светом из катода, совпадающий с известным зарядом электрона e/m. Отсюда следовало, что под действием света происходит вырывание электронов из вещества катода – фотоэлектрический эффект (внешний) (или просто – фотоэффект).