 |
|
Пределы применимости формулы Эйлера
Формулой Эйлера можно пользоваться не всегда. При ее выводе использовалось дифференциальное уравнение изогнутой оси, вывод которого основан на законе Гука. Закон же Гука, как известно, справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности.
Чтобы установить пределы применимости формулы Эйлера, определим критическое напряжение, то есть напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при действии критической нагрузки:
. (1.7)
При этом 
- наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня. Тогда формулу (1.7) можно записать в виде:
. (1.8)
Величину 
обозначим через 
:
, (1.9)
и будем называть гибкостьюстержня. Из формулы (1.9) видно, что гибкость стержня зависит от его длины, размеров поперечного сечения и способа закрепления концов. Тогда выражение (1.8) для критического напряжения принимает вид:
. (1.10)
Как видим, напряжение 
возрастает по мере уменьшения гибкости. Чтобы можно было пользоваться формулой Эйлера, необходимо, как отмечено выше, удовлетворить следующему условию:
, (1.11)
где 
- предел пропорциональности материала стержня.
Записывая формулу (1.11) относительно гибкости, получаем условие применимости формулы Эйлера в виде:
. (1.12)
Из выражения (1.12) вводится понятие предельной гибкости, зависящей только от свойств материала стержня:
. (1.13)
Например, для стали Ст.3 
МПа и 
МПа, тогда предельная гибкость равна:
.
Таким образом, для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость больше 100.
Зная величины Е и , по формуле (1.13) легко определить предельную гибкость любого материала. Например, для чугуна 
, для высокоуглеродистых и легированных сталей 
, для древесины 
и т.д.
Таким образом, формулу Эйлера можно применять для определения критической силы только при условии, что гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для данного материала, то есть если 
. При гибкости стержня, меньшей 
, формула Эйлера неприменима, и задача об устойчивости стержня требует особого рассмотрения.