РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНАЯ РАБОТА (РПР) № 6 ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
«Устойчивость сжатых стержней» При выполнении РПР № 6 необходимо решить 2 задачи: в задаче № 1 требуется сделать проверку на устойчивость сжатого стержня заданного поперечного сечения с определением коэффициента запаса устойчивости; в задаче № 2 – выполнить проектный расчет, т.е. рассчитать размеры сечения сжатого стержня из условия его устойчивости.
З А Д А Ч А № 1
Дано: тип и размеры сечения (см. рисунок); м; схема закрепления стержня (см. рисунок); Материал – сталь 3 ( МПа, МПа, МПа) Определить критическую силу, допускаемую величину сжимающей силы и коэффициент запаса устойчивости.
Р е ш е н и е:
1. Определяется положение центра тяжести сечения. В данном примере вертикальная ось является осью симметрии сечения, поэтому центр тяжести находится на этой оси. Для определения ординаты центра тяжести сечения выбирается вспомогательная ось ; тогда, разбивая сечение на два прямоугольника, получаем: где - статический момент сечения относительно вспомогательной оси ; - площадь сечения; и - ординаты центров тяжестей прямоугольников, составляющих данное сечение. Вычисляются главные центральные моменты инерции и сечения как сумма моментов инерции двух прямоугольников: . При этом = и = , так как оси , и совпадают. где - расстояние между осями и ; - расстояние между осями и . При этом и , так как оси , и не совпадают. Таким образом, получено . Так как потеря устойчивости сжатого стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости, то при расчете используется меньшее значение момента инерции, т.е. . 2. Вычисляется гибкость сжатого стержня: , где - коэффициент приведенной длины: для заданной схемы закрепления стержня ; - минимальный радиус инерции сечения. Вычисляется предельное значение гибкости стержня: Таким образом, гибкость стержня больше ее предельного значения 3. Определяются значения критической силы и критического напряжения. Критическая сила вычисляется по формуле Эйлера, так как : При таком значении сжимающей силы стержень может потерять устойчивость, т.е. изогнуться (изогнутый стержень показан на рисунке штриховой линией). Критическое напряжение равно: Примечание: Если получается, что гибкость стержня меньше ее предельного значения , то расчет выполняется по формуле Ясинского Ф.С. Сначала определяется критическое напряжение по формуле: , где и - постоянные, зависящие от материала. Так, например, для стали 3 Затем определяется критическая сила: 4. Определяется по таблице коэффициент уменьшения допускаемого напряжения на сжатие , зависящий от материала и гибкости стержня (см.таблицу на стр. 17). Для определения значения коэффициента , соответствующего полученной гибкости стержня , выполняется интерполяция табличных значений коэффициента. Рассмотрим некоторую часть таблицы значений коэффициента , взятую для значений гибкости , близких к , то-есть для и (материал – Сталь 3).
Так, если взять за начало отсчета значение (соответствующее ), то коэффициент , соответствующий , будет равен: Или , если взять за начало отсчета значение (соответствующее ), то искомый коэффициент равен: , то-есть в обоих случаях получаются одинаковые значения . 5. Вычисляются допускаемые значения напряжения и сжимающего усилия из условия устойчивости: Вычисляется коэффициент запаса устойчивости (stability – устойчивость). Ответ: . Если данный стержень сжать силой , то будет обеспечен коэффициент запаса устойчивости .
Таблица значений коэффициента
З А Д А Ч А № 2
Дано: ; Схема закрепления стержня (см.рисунок); сечение прямоугольное ( ); материал – древесина: . Рассчитать размеры сечения и из условия устойчивости стержня.
Р Е Ш Е Н И Е Для удобства вычислений выразим величины, которые будут использоваться при расчете, через один и тот же параметр – например, ширину сечения . Площадь сечения ; отсюда ; Главные центральные моменты инерции сечения: ;
. Отсюда следует, что , то-есть Минимальный радиус инерции сечения: Гибкость стержня: ; где - коэффициент приведения длины; для заданного способа закрепления стержня . Расчетная формула (условие устойчивости) имеет вид: , где - коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие. Отсюда требуемая площадь сечения равна: ; В этой формуле 2 неизвестных ( и ), и задача решается путем последовательных приближений. Вначале задается произвольное значение . 1. Пусть Тогда Теперь по таблице определяется коэффициент с применением метода интерполяции. Рассмотрим часть таблицы (стр.17) значений коэффициента , взятую для значений гибкости , близких к , то-есть для и (материал – древесина). Беря, например, за начало отсчета значение , соответствующее , получим для : .
Для оценки полученного результата сравниваются допускаемые напряжения из условия устойчивости и действующие (фактические) напряжения. Допускаемое напряжение из условия устойчивости: Действующее (фактическое) напряжение: Таким образом, получено в 1,56 раза, т.е. сечение недогружено. 2. Значение коэффициента берется как среднее арифметическое значение между заданным и полученным из таблицы . Теперь расчет повторяется в порядке, показанном при выполнении п.1. По таблице методом интерполяции определяется : Допускаемое напряжение из условия устойчивости: Действующее (фактическое) напряжение: . Получено в 1,13 раза, т.е. на 13 %, значит расчет необходимо продолжить (допускаемая разница равна ). 3. Значение коэффициента берется как среднее арифметическое значение между и : Расчет снова повторяется в порядке, показанном при выполнении п.п.1 и 2. Полученное значение округляется до Тогда По таблице методом интерполяции определяется Допускаемое напряжение из условия устойчивости: Действующее (фактическое) напряжение: Получено в 1,014 раза, т.е. на 1,4 %. Таким образом, можно считать, что , и расчет на этом заканчивается. Ответ: З А Д А Ч А № 2-а
Дано: ; Схема закрепления стержня (см.рисунок); сечение двутавровое; материал – сталь Ст.3 . Определить требуемый номер двутавра из условия устойчивости стержня.
Р Е Ш Е Н И Е:
Требуемая площадь сечения определяется по формуле, использованной ранее при решении задачи № 2: ; Задача решается путем последовательных приближений. Вначале задается произвольное значение . 1. Пусть Тогда . Согласно таблице ГОСТ 8239-89 принимаем двутавр № 60, у которого площадь сечения ; минимальный радиус инерции сечения Гибкость стержня при этом равна: , где - коэффициент приведения длины; для заданного способа закрепления стержня . По таблице определяется коэффициент ( для гибкости и материал – сталь Ст.3). Теперь сравниваются допускаемые напряжения из условия устойчивости и действующие (фактические) напряжения. Допускаемые напряжения из условия устойчивости: Действующее (фактическое) напряжение: Таким образом, получено , в 1,1 раза то-есть устойчивость стержня не обеспечивается (перегрузка составляет 10 %). 2. Так как в результате выполненного по п.1 расчета значения допускаемых напряжений и действующих напряжений отличаются незначительно (на 10 %), то можно взять из таблицы ГОСТ 8239-89 следующий по порядку номер двутавра (больший номер), и проверку условия устойчивости повторить по вышеуказанной методике. Принимаем двутавр № 65, у которого ; . Тогда По таблице определяется коэффициент . Допускаемое напряжение из условия устойчивости: Действующее (фактическое) напряжение: Получено в 1,13 раза, то-есть стержень недогружен на 13 %. Однако, этот результат расчета необходимо принять, так как при ближайшем меньшем номере двутавра (№60), как показано при выполнении п. 1, устойчивость стержня не обеспечивается. Ответ: двутавр № 65.
Контрольные вопросы 1. Дать определение устойчивости и потери устойчивости сжатого стержня. 2. Какая сжимающая сила называется критической ? Какое напряжение называется критическим ? 3. Как вычисляется критическая сила, критическое напряжение ? 4. От каких параметров зависит величина критической силы, определяемая по формуле Эйлера ? 5. Как влияет закрепление концов сжатого стержня на величину критической силы ? 6. Как определяется гибкость сжатого стержня ? От каких факторов зависит гибкость ? 7. Какая гибкость называется предельной и от чего она зависит ? 8. Когда применима формула Эйлера для определения критической силы ? 9. Когда применяется формула Ясинского для определения критического напряжения ? 10. Как выполняется расчет на устойчивость с помощью коэффициента снижения допускаемого напряжения ? 11. От каких факторов зависит коэффициент снижения допускаемого напряжения и как он определяется ? 12. В чем заключается сущность расчетов на устойчивость методом последовательных приближений ? 13. Какие формы сечений сжатых стержней являются рациональными с точки зрения обеспечения устойчивости ? 14. Какие параметры определяются в расчетах на устойчивость сжатых стержней (прямая и обратная задачи) ?
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|