Решение типовой задачи.
Задача № 1. Для установления зависимости высоты сосны от ее диаметра в порядке случайной выборки произвели обмер 10 деревьев. Результаты этого обмера следующие: Таблица 1 – Исходные данные
Известно, что между высотой дерева и его диаметром существует линейная связь. Найти корреляционное уравнение линейной связи. Вычислить коэффициент корреляции график этой зависимости. Решение Корреляционное управление связи между высотой дерева и его диаметра (управление регрессии) в данном случае представляется уравнение прямой: , где: - высота дерева, м.; - диаметр дерева, м.; и - параметры прямой. Для нахождения параметров и способом наименьших квадратов используем систему двух нормальных уравнений где: n – число деревьев (n=10). Для вычисления параметров и составим расчетную таблицу. Таблица 2 - Расчетная таблица.
Подставив итоговые значения граф 2, 4, 5 и 6 в вышеприведенную систему уравнений, получим Решив данную систему, получим =6,38 и =0,566. Тогда уравнение регрессии(корреляционной связи) принимает вид Для определения тесноты связи между и вычисляем линейный коэффициент корреляции по следующей формуле Подставляя итоговые значения граф 2,3,4,5 и 6 в данную формулу, получаем Близость величины r к единице свидетельствует о высокой полноте связи между и . Подставляя в полученное уравнение корреляционной связи значения x, вычисляем соответствующие значения , которые заносим в графу 7 рабочей таблицы. Воспользовавшись данными, приведенными в графах 2,4, 7 можно построить график зависимости высоты дерева (y – эмпирическая зависимость, - теоретическая зависимость) от его диаметра, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываем значение факторного показателя (х), а по вертикальной оси (оси ординат) – значение результативного показателя (у). Задача № 2. По исходным данным таблицы 1 Таблица 1 - Статистическая информация о фондоотдаче тридцати организаций
1) установите наличие и характер связи между признаками – выпуском продукции и эффективностью использования основных производственных фондов (фондоотдачей), образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам, методом аналитической группировки; 2) измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с помощью использования коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения. Сделайте выводы. Решение: 1. Связь между признаками «выпуск продукции» и «фондоотдача» изучается с помощью аналитической группировки. Поскольку аналитическая группировка предполагает разделение совокупности на группы по факторному признаку, его необходимо определить. В нашем примере факторным признаком является фондоотдача, т.к. от нее зависит выпуск продукции. Таблица 2 - Распределение организаций по фондоотдаче
Определяем величину интервала группировки по факторному признаку по формуле: руб. Группы будут: 0,9 – 0,98; 0,98 – 1,06; 1,06 – 1,14; 1,14 – 1,22; 1,22 – 1,3. Чтобы дополнить эти данные средними по группам значениями выпуска продукции, необходимо построить рабочую таблицу 2: На основании таблицы 2 построим итоговую таблицу 3 аналитической группировки. Таблица 3 - Зависимость выпуска продукции организаций от фондоотдачи
Групповые средние результативного признака определяются по формуле простой средней арифметической: . Общая средняя результативного признака по совокупности в целом может быть определена двумя способами: 1) по первичным данным по формуле простой средней арифметической: , ; 2) по вторичным данным, по формуле взвешенной средней арифметической: , Анализ таблицы 3 (графы А и 3) показывает, что с ростом фондоотдачи от группы к группе возрастает и выпуск продукции в среднем на одну организацию. Отсюда следует, что между фондоотдачей и выпуском продукции в среднем на одну организацию существует прямая корреляционная взаимосвязь. 2. Коэффициент детерминации равен . Если учесть, что величина межгрупповой дисперсии характеризует влияние только факторного признака, а величина общей дисперсии характеризует влияние всех признаков, влияющих на результативную величину, то частное от деления межгрупповой дисперсии на общую дисперсию укажет на силу влияния факторного признака на результативный. Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле: . Все расчеты проделаем в таблице 4.
Таблица 4 - Рабочая таблица для определения межгрупповой дисперсии
Межгрупповая дисперсия выпуска продукции равна: Рассчитаем теперь общую дисперсию уровней выпуска продукции по индивидуальным данным 30 организаций. Для этого составим таблицу 5. Опираясь на данные таблицы 5, рассчитаем общую дисперсию: ; 100 – 93,3 = 6,8%. Таблица 5 - Рабочая таблица для расчета общей дисперсии
Выводы: Величина коэффициента детерминации говорит о том, что вариация выпуска продукции на 93,3% зависит от вариации фондоотдачи организаций и на 6,8% от вариации прочих признаков. Эмпирическое корреляционное отношение, равное 0,966, свидетельствует о весьма тесной связи между фондоотдачей и выпуском продукции. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|