Главная | Обратная связь

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Дальнейшая обработка экспериментальной зависимости lnt от lnV предполагает использование формулы (8). Чтобы подчеркнуть линейный характер зависимости lnt от lnV, введем новые обозначения x=lnV, y=lnt , a=lnA. Тогда (8) примет обычный для линейной функции вид

. (10)

Задача состоит в нахождении таких значений a и b, при которых функция y=a+bx наилучшим образом соответствует опытным данным. (Смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

За меру отклонения функции (10) от экспериментальных данных для i-го опыта выбирается величина (y_i-a-bx_i)². Почему берется именно такая величина, а не просто (y_i-a-bx_i)? Ясно, что оба знака уклонения a+bx_i от y_i нехороши: плохо, если a и b, таковы, что y_i<a+bx_i, но также нехорошо, если a и b, таковы, что y_i>a+bx_i. Если бы за меру отклонения была бы взята величина y_i-a-bx_i, а затем находилась бы сумма отклонений в нескольких опытах, то можно было бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаком. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что параметры a и b подобраны удачно. Если же за меру отклонения берется (y_i-a-bx_i)², то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины (y_i-a-bx_i)²>0.

В качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией y=a+bx берется сумма мер отклонений для всех опытов (их число обозначим l), т.е.

. (11)

Метод определения констант a и b, входящих в формулу (10), из требования минимальности общего отклонения, называется методом наименьших квадратов.

Таким образом, надо выбрать a и b, так, чтобы величина была наименьшей. Для этого используются правила нахождения экстремумов, известные из матанализа. Если бы a было уже найдено, то в правой части (11) можно было бы изменять только b, поэтому должно было бы быть так -

Аналогично, если бы было найдено b, то -

Эти два условия дают следующую систему уравнений для определения a и b

. (12)

Величины Sx_i, Sy_i, Sx_i² и Sx_iy_i просто можно рассчитать по данным эксперимента. Тогда система (12) есть система 2-х линейных уравнений относительно 2-х неизвестных a и b. Решая ее любым способом, нетрудно получить

. (13)

Таким образом, параметры a и b, рассчитанные по формулам (13) дают наилучшее приближение функции (10) к экспериментальным данным.

Определив величины a и b, можно рассчитать среднеквадратичное отклонение S₀, характеризующее степень отклонения данных от рассчитанной прямой, по формуле

. (14)

Здесь a и b - параметры прямой, вычисленные по формулам (13). Среднеквадратичные погрешности каждого параметра определяют по формулам

. (15)

Наконец, доверительные границы Da и Db параметров прямой при доверительной вероятности a рассчитываются следующим образом

, (16)

то есть коэффициент Стьюдента выбирается по таблицам для некоторой эффективной вероятности, равной (1+a)/2 и для числа точек, равного l-2. Например, если надо найти доверительные интервалы параметров прямой, полученных методом наименьших квадратов 10 точек (l=10) при доверительной вероятности a=0.9, то в формулы (16) необходимо подставить коэффициент Стьюдента t_{0,95, 8} = 2,36.

Определив параметр b, можно восстановить показатель в законе упругой силой. Для этого вспоминаем, что b=(1-n)/(1+n). Тогда для n получаем

. (17)

Погрешность Dn определяется как погрешность косвенного измерения по формуле

. (18)

где Db вычислено по формуле (16). Полученное значение n теперь можно сравнить с теоретическим, равным для шаров 3/2.

Определение константы k в законе (1) представляет существенно более сложную задачу. Учитывая, что a=lnA, имеем A=e^a и, согласно формуле (7), получаем.

. (19)

Сложность вычисления k по этой формуле заключается в том, что интеграл , достаточно просто берется лишь для n, кратных ½. Этого для экспериментально определяемых n ожидать трудно. Для произвольных n этот интеграл можно выразить через, так называемую гамма-функцию, зависящую от n. Используя таблицы для гамма-функции, можно получить значение интеграла. Другим способом расчета значения I(n) является численное интегрирование на ЭВМ. Получив значение I(n) тем или иным способом, затем просто рассчитывается величина k. Отметим, что, в принципе, возможно определить и погрешность Dk, зная Dn и Da. Но эта задача представляет большие сложности и здесь не рассматривается.

Таким образом, определяются параметры в законе упругой силы (1). По известным k и n далее рассчитываются величина максимального сближения шаров h₀ по формуле (5). Такие расчеты надо провести для максимальной и минимальной в данном эксперименте скоростях. После этого можно рассчитать по формуле (1) и силы, действующие в этих случаях при максимальном сжатии шаров.

Представляет интерес оценка площади контакта шаров, в момент максимального сжатия, что можно сделать, зная величину h, из геометрических соображений. Очевидно, что пятно контакта представляет собой круг, площадь которого можно считать равной площади основания шарового сегмента радиуса R и высотой h.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. От чего зависит и чем определяется время соударения?

2. Как определить по известному времени соударения t показатель n и значение k?

3. Два шара с R=R'=5cм и 1/D=2 10 ⁷Па разведены на угол 30°. Определить величину максимального сближения шаров h₀..