Главная | Обратная связь

Основні закони розподілу. Нормальний закон

Використання на практиці ймовірнісного підходу до оцінки похибок результатів вимірювань перш за все передбачує знання аналітичної моделі закону розподілу випадкової похибки. Найбільш розширеним є нормальний закон розподілу, який часто називають розподілом Гауса.

Рис.** До поняття про математичне очікування та стандартне відхилення випадкової похибки.

Широке використання нормального розподілу на практиці пояснюється центральною граничною теоремою теорії ймовірності, яка стверджує, що розподіл випадкових похибок буде близьким до нормального всякого разу, коли результати спостережень формуються під дією великого числа незалежно діючих факторів, кожен з яких впливає незначно порівняно з сумарною дією всіх інших. Якщо ввести нову змінну .

Тоді одержимо нормований нормальний розподіл у вигляді

Нормування приводить до переносу початку координат в центр розподілу.

Значення інтегральної і диференційної функцій нормованого нормального розподілу зведені в таблиці.

Визначений інтеграл зі зміною верхньою границею називають функцією Лапласа.

Постільки цей інтеграл не можна виразити через елементарні функції, то значення 2Ф(t), зведені в таблицю.

	t	2Ф(t)
0,5	0,3830
1,0	0,6826
1,5	0,8664
2,0	0,9545
2,5	0,9876
3,0	0,9973
4,0	0,99994
∞

Рис. ** Інтеграл ймовірності (функція Лапласа).

Випадкова похибка з нормальним розподілом густини ймовірності теоретично може прийняти будь-які значення від –∞ до +∞. Аналогічно може бути і для багатьох інших законів. Однак більша частина похибок групується поблизу центральних значень, тобто має невеликі інтервали змін. Якщо систематична похибка виключена і математичне очікування М = 0, тоді нормальний закон розподілу буде симетричний відносно нульового значення похибки

Максимальне значення ординат становить вона тим більша, чим менша дисперсія і СКВ d.

Чим більша похибка, тим менша ймовірність її появи. Однакові випадкові похибки з протилежними знаками мають однакову густину ймовірності.

Ймовірність того, що похибка знаходиться в інтервалі від –D_гр до D_гр визначається співвідношенням

Введемо нормувальну величину і зведемо інтеграл P(D) до інтегралу ймовірності.

Користуючись таблицею – чи графіком Ф(z), знайдемо наприклад, що ймовірність перебування похибки в межах ± s становить P(± s) = 0,6826; P(± 3s) = 0,9973.

Останню похибку ± 3s прийнято вважати максимальною: D_m = ± 3s.

Ймовірність появи похибки, більшої за D_m, становить:

Нормальний закон досягається при порівняно великій кількості вимірювань ³ 20 однієї фізичної величини. Однак на краях кривої розподілу варто збільшувати число вимірів, щоб уникнути промахів.