РОЗРАХУНОК ПОХИБОК ВИМІРЮВАНЬ

Лабораторна робота № 1

(на прикладі обчислення густини тіл правильної геометричної форми)

Мета роботи: вивчення методів і набуття навичок обробки результатів вимірювань та обчислення похибок.

Завдання. Обчислити густину речовини, з якої зроблено тіло, та абсолютну і відносну похибки вимірювання густини.

Прилади: штангенциркуль, мікрометр, терези.

Теоретичні відомості

Густина показує кількість речовини, що міститься в одиниці об’єму тіла. Якщо тіло однорідне, його густина обчислюється за формулою

де — густина; — маса тіла; — об’єм тіла.

Одиницею густини в СІ є кілограм, поділений на кубічний метр. Наприклад, густина алюмінію дорівнює 2700 кг/м³.

Якщо тіло має форму циліндра, його об’єм обчислюється за формулою

тому густину речовини, з якої виготовлено циліндр, можна обчислити за формулою

де — площа основи циліндра; — висота циліндра; — діаметр основи циліндра.

Порядок виконання роботи

1. Виміряти штангенциркулем або мікрометром (залежно від розмірів циліндра) його діаметр. Діаметр потрібно виміряти п’ять разів для того, щоб обчислити похибку вимірювання.

Оскільки ідеальних циліндрів не існує, для того щоб знайти середній діаметр, вимірювання потрібно виконувати в різних частинах циліндра. Результати вимірювань занести в табл. 1.

Таблиця 1

Вимірювана величина	Виміряні значення величини	Середнє значення
Діаметр d, 10^–³ м	d₁	d₂	d₃	d₄	d₅	ádñ

Висота h, 10^–³ м	h₁	h₂	h₃	h₄	h₅	áhñ

Маса m, 10^–³ кг	m₁	m₂	m₃	m₄	m₅	ámñ

2. Аналогічно до п. 1 виміряти висоту циліндра. Результати вимірювань занести в табл. 1.

3. Виміряти значення маси. Результати вимірювань занести в табл. 1.

За відсутності приладів викладач можете дати вам один з варіантів результатів попередньо проведених вимірювань з табл. 2.

Таблиця 2

Варіант	Номер досліду	Діаметр d, мм	Висота h, мм	Маса m, г	Варіант	Номер досліду	Діаметр d, мм	Висота h, мм	Маса m, г
		40,12	20,15	26,1			20,04	29,55	70,6
	40,03	20,35	25,9		20,08	29,35	70,4
	39,98	19,95	26,4		20,10	29,90	70,2
	40,09	20,50	26,5		20,12	29,15	70,9
	40,04	19,85	25,7		20,05	29,60	70,3
		40,17	40,10	127,1			40,11	25,50	250,5
	40,09	40,70	125,9		40,17	25,35	250,3
	39,98	39,85	125,4		39,18	25,95	250,9
	40,06	40,15	125,5		40,14	25,10	250,1
	40,04	39,90	126,7		39,19	25,85	250,8
		20,04	50,60	137,1			20,31	26,10	24,3
	20,08	50,45	135,9		20,33	25,90	24,8
	20,10	50,20	135,4		19,39	26,45	24,1
	20,12	50,90	135,5		20,35	26,55	24,9
	20,05	50,35	136,7		19,38	25,70	24,5
		60,04	24,30	23,5			43,12	38,50	324,3
	60,08	24,80	23,3		43,03	38,35	324,8
	60,11	24,15	23,9		42,98	38,85	324,1
	60,02	24,95	23,1		43,09	38,20	324,9
	60,05	24,50	23,8		43,04	38,95	324,5
		20,11	10,60	32,3			20,04	59,50	15,2
	20,17	10,45	32,8		20,08	59,30	15,4
	19,18	10,25	32,1		20,11	59,95	15,7
	20,14	10,90	32,9		20,02	59,15	15,1
	19,19	10,35	32,5		20,05	59,60	15,9

Обробка результатів вимірювань

1. Обчислити середньоарифметичне значення діаметра ádñ, висоти áhñ і маси ámñ циліндра за відповідними формулами:

; ;
.

Результати обчислень занести в табл.1.

2. Обчислити відхилення результатів вимірювань діаметра, висоти і маси від середнього арифметичного значення:

— діаметра Dd₁ = d₁ – ádñ; Dd₂ = d₂ – ádñ; Dd₃ = d₃ – ádñ;

Dd₄ = d₄ – ádñ; Dd₅ = d₅ – ádñ;

— висоти Dh₁ = h₁ – áhñ; Dh₂ = h₂ – áhñ; Dh₃ = h₃ – áhñ;

Dh₄ = h₄ – áhñ; Dh₅ = h₅ – áhñ;

— маси Dm₁ = m₁ – ámñ; Dm₂ = m₂ – ámñ; Dm₃ = m₃ – ámñ;

Dm₄ = m₄ – ámñ; Dm₅ = m₅ – ámñ.

Результати обчислень занести в табл. 3.

3. Піднести до квадрата відхилення результатів вимірювань від середнього арифметичного:

— діаметра Dd₁²; Dd₂²; Dd₃²; Dd₄²; Dd₅²;

— висоти Dh₁²; Dh₂²; Dh₃²; Dh₄²; Dh₅²;

— маси Dm₁²; Dm₂²; Dm₃²; Dm₄²; Dm₅².

Результати обчислень занести в табл. 3.

Таблиця 3

Обробка результатів вимірювання діаметра
Номер вимірювання	Dd_i, 10^–3 м	Dd_i², 10^–6 м²	S_n, 10^–3 м	Dd_вип, 10^–3 м	Dd_сист, 10^–3 м	Dd_повн , 10^–3 м

Закінчення табл. 3

Обробка результатів вимірювання висоти
Номер вимірювання	Dh_i, 10^–3 м	Dh²_i, 10^–6 м²	S_n, 10^–3 м	Dh_вип, 10^–3 м	Dh_сист, 10^–3 м	Dh_повн, 10^–3 м





Обробка результатів вимірювання маси
Номер вимірювання	Dm_i, 10^–3 кг	Dm²_i, 10^–6 кг²	S_n, 10^–3 кг	Dm_вип, 10^–3 кг	Dm_сист, 10^–3 кг	Dm_повн, 10^–3 кг

4. Обчислити середньоквадратичне відхилення результатів вимірювань діаметра, висоти і маси від середнього арифметичного

— діаметра

;

— висоти

;

— маси

де — кількість вимірювань, у нашому випадку n = 5. Результати обчислень занести в табл. 3.

5. Обчислити випадкову складову похибки вимірювання:

діаметра ;

висоти ;

маси ,

де t_C — коефіцієнт Стьюдента (див. табл.). Результати обчислень занести в табл. 3.

6. Записати у графи таблиці 3 систематичну похибку приладів, якими вимірювали відповідно діаметр, висоту і масу циліндра. Якщо прилади добре відрегульовані, то систематична похибка дорівнює інструментальній похибці.

Наприклад, для мікрометра = 0,01 мм, для штангенциркуля = 0,05 мм, для терезів = 0,1 г.