Лінійні неперервні оператори

Нехай - лінійні нормовані простори. Відображення називається оператором. Оператор називається лінійним, якщо для будь-яких чисел і будь-яких елементів виконується рівність .

Оператор називається неперервним в точці , якщо при .

Теорема. Якщо лінійний оператор неперервний в точці , тоді він неперервний в будь-якій точці .

Лінійний оператор називається неперервним, якщо він неперервний в точці .

Лінійний оператор називається обмеженим, якщо , що для будь-якого елемента виконується нерівність .

Теорема. Лінійний оператор непевний тоді і тільки тоді, коли він обмежений.

Нормою лінійного обмеженого оператора називається число

(1)

Приклад 1. Перевірити лінійність, обмеженість оператора А: , і знайти його норму.

Розв’язування. Для будь-яких дійсних чисел і будь-яких послідовностей , є маємо

Значить, оператор є лінійним.

Перевіримо обмеженість оператора. Нехай – довільний елемент простору , тоді

Звідки випливає обмеженість оператора і оцінка його норми

Припустимо, що існує елемент є , , для якого . Тоді . Рівність виконується при і для . Візьмемо елемент Він належить простору , має одиничну норму і . Отже, норма оператора дорівнює .

Приклад. Перевірити лінійність, обмеженість оператора ,

і знайти його норму.

Розв’язування. Для довільних дійсних чисел і довільних послідовностей , є отримаємо:

Значить, оператор лінійний.

Перевіримо обмеженість оператора. Нехай – будь-який елемент простору , тоді маємо

Тобто . Значить, оператор є обмеженим і .

Припустимо,що існує елемент , ,такий для якого . Згідно задання норми в просторі це означає ,що виконується рівність . Оскільки для будь-якого є справедливі нерівності і крім того ,то рівність не може виконуватись ні для якого елемента . Отримали протиріччя.

Розглянемо послідовність елементів простору . Норма кожного елемента послідовності дорівнює одиниці. Знайдемо норми елементів в просторі . Отримаємо:

Звідки випливає, що тобто норма оператора не може бути меншою за число 2.

Оскільки раніше отримали оцінку , значить

Приклад. Перевірити лінійність, обмеженість оператора і знайти його норму.

Розв’язування. Перевіримо лінійність оператора: Значить, оператор лінійний.

Для будь-якого елемента є маємо

Звідки випливає обмеженість оператора і оцінка його норми

Нехай для деякого елемента є , норма якого рівна одиниці, має місце рівність , тобто

Оскільки , тому для кожного . Дріб для всіх . Значить, послідовність чисел повинна містити підпослідовність тому, що . Але . Отримали протиріччя.

Розглянемо послідовність елементів з одиничною нормою. Знаходимо

Звідки отримаємо , а, значить, норма оператора не менша за . Отже, .

Приклад. Перевірити лінійність, обмеженість оператора і знайти його норму.

Розв’язування. Перевіримо лінійність оператора. Для довільних дійсних чисел і довільних елементів , є отримаємо:

Значить, оператор лінійний.

Візьмемо будь-який елемент є і оцінимо значення норми елемента в просторі . Маємо

З отриманої оцінки випливає, що оператор є обмеженим і .

Нехай існує елемент є такий, що і . Тоді має місце рівність . Згідно припущення . Оскільки для кожного дріб менший за одиницю, то отримаємо

, тобто протиріччя.

Розглянемо послідовність елементів простору з одиничною нормою. Знаходимо

Звідки випливає, що . Значить, норма оператора не може бути меншою за 1. але раніше отримали оцінку . Отже, .

Приклад. Перевірити лінійність, обмеженість оператора і знайти його норму.

Розв’язування. Перевіримо лінійність оператора.

Значить, оператор є лінійним.

Для будь-якої функції отримаємо

Значить , оператор обмежений і крім того .

Нехай існує функція така, що і . Тоді справедлива рівність . Оскільки найбільше значення функції на відрізку дорівнює 1, тому . Звідси випливає, що значення функції в точках повинні бути по модулю рівні 1 і відрізнятися лише знаком.

Розглянемо функцію . Вона неперервна на відрізку , і її норма і . Звідси випливає, що .

Приклад. Перевірити лінійність, обмеженість оператора і знайти його норму.

Розв’язування. Для довільних дійсних чисел і довільних неперервних на відрізку функцій маємо

тобто оператор лінійний.

Перевіримо обмеженість оператора. Нехай - довільна функція з простору , тоді отримаємо .

Звідки випливає, що існує функція з одиничною нормою , така, для якої Значить, виконується рівність . Ця рівність справедлива для кожної функції простору , модуль значення якої в точці дорівнює 1.

Розглянемо функцію . Ця функція належить простору , норма її рівна 1 і . Отже, .

Приклад. Перевірити лінійність, обмеженість оператора і знайти його норму.

Розв’язування.Перевіримо лінійність оператора.

Отже, оператор лінійний.

Для довільної функції простору маємо

Таким чином оператор обмежений і

Покажемо, що норма оператора рівна . Розглянемо функцію . Ця функція належить простору і має одиничну норму. Знайдемо норму функції . Отримаємо

Отже, .

Приклад. Перевірити лінійність, обмеженість оператора і знайти його норму.

Розв’язування. Для довільних дійсних чисел і довільних функцій маємо:

тобто оператор лінійний.

Нехай – будь-яка функція простору . Оцінимо норму функції в просторі . Отримаємо:

Звідки випливає обмеженість оператора і оцінка його норми .

Припустимо, що існує функція , така, для якої . Тоді виконується рівність . Оскільки , то отримаємо . Функція на відрізку один раз міняє знак в околі точки з плюса на мінус, крім того . А це означає, що рівність може виконуватись тоді і тільки тоді, коли . Функція не належить просторові . Значить, отримали протиріччя.