 |
|
Теория метода и описание установки
Одним из экспериментальных методов определения моментов инерции тел является метод крутильных колебаний. Этим методом можно определить момент инерции любого тела, имеющего не только правильную, но и неправильную форму, момент инерции которого рассчитать трудно (зубчатое колесо с отверстиями, отливка и др.).
Крутильные колебания возникают, если тело, подвешенное на упругой проволоке (рис. 3.1), повернуть на некоторый угол j и отпустить. В проволоке появляются упругие силы, направленные в сторону, противоположную углу поворота. Возникает момент сил, пропорциональный углу поворота и стремящийся вернуть тело в положение равновесия:
| M = – kj , | (3.1) |
где 
– коэффициент упругости подвеса.
Если пренебречь силами трения, то из основного закона динамики вращения (см. выражение (2.5) в лабораторной работе № 2) будем иметь
| Ie = – kj , | (3.2) |
где I – момент инерции висящего на проволоке тела относительно оси крутильных колебаний.
Так как величина возвращающего момента сил прямо пропорциональна смещению j от положения равновесия, то возникающие крутильные колебания будут гармоническими и угол поворота j(t)будет периодической функцией времени:
| j = j m cos (w t + a0), | (3.3) |
где jm – амплитуда колебаний, т.е. максимальное значение угла поворота j; w – циклическая частота колебаний, связанная с периодом T соотношением
 ;
| (3.4) |
a0 – начальная фаза колебаний.
Угловое ускорение тела, как известно, может быть определено как вторая производная от угла поворота по времени:
 .
| (3.5) |
Произведя двойное дифференцирование выражения (3.3) и подставив значения j и e в (3.2), можно получить связь между угловой частотой крутильных колебаний тела и коэффициентом упругости подвеса:
 .
| (3.6) |
Заменив в этом уравнении w через период колебаний T и измерив его, можно определить момент инерции подвешенного тела, если известен коэффициент упругости k:
 .
| (3.7) |
Если же значение коэффициента упругости проволоки неизвестно, то его можно исключить, написав аналогичное уравнение для другого тела – правильной формы, момент инерции I0которого легко рассчитать:
 .
| (3.8) |
Здесь k имеет то же значение, что и в выражении (3.6), если тело с неизвестным моментом инерции I подвешено на том же подвесе.
Приравнивая правые части выражений (3.6) и (3.8), легко получить уравнение, дающее возможность найти момент инерции тела любой формы по рассчитанному значению I0 и двум периодам колебаний T0 и T, которые определяются измерениями. В качестве тела с известным моментом инерции в нашей работе взято кольцо, момент инерции которого рассчитывается по его массе т и размерам:
 ,
| (3.9) |
где R1 – внутренний радиус, а R2 – внешний радиус кольца.
Расчётное значение момента инерции кольца (3.9) получено интегрированием выражения, которое определяет момент инерции сплошного тела
 .
| (3.10) |
В случае кольца элемент массы dm выбирается в виде бесконечно тонкого колечка произвольного радиуса r (рис. 3.2), и интегрирование ведётся в пределах от R1 до R2. Масса элемента dm прямо пропорциональна объёму dV колечка и плотности r материала, из которого изготовлено кольцо:
| dm = r (2prdrb), | (3.11) |
где b – толщина кольца. Подставляя в (3.10) это выражение, получаем
 .
| (3.12) |
 |
После несложных преобразований, выделив здесь массу кольца как произведение его объёма на плотность, получим формулу (3.9).
Установка для проведения измерений представляет собой стойку с кронштейном, на котором закреплена стальная проволока длиной около метра. К нижнему концу проволоки прикреплена лёгкая платформа, моментом инерции которой пренебрегаем, так как он очень мал по сравнению с инертностью эталонных колец и исследуемого тела. На платформе симметрично относительно оси проволоки могут размещаться либо тело произвольной формы, либо кольца разных размеров. Для фиксации положения тела в симметричном положении по проволоке можно перемещать лёгкую пробку. В основание стойки ввёрнуто три винта, с помощью которых стойка устанавливается вертикально – так, чтобы проволока с подвешенным к ней грузом была параллельна стойке.
Выполнение работы
Практической целью лабораторной работы является экспериментальное определение моментов инерции одного и того же тела относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через его центр масс. Условное изображение двух положений тела относительно проволоки, которая здесь совпадает с осью крутильных колебаний, показано на рис. 3.3.
Для проведения первой серии измерений нужно расположить тело на подвеске горизонтально и зафиксировать его с помощью подвижной пробки. Затем нужно повернуть подвеску с закреплённым на ней телом на любой угол в пределах от 90° до 180° вокруг вертикальной оси и отпустить. Секундомер следует включать не сразу, а в любой момент, когда тело займет положение максимального поворота. Измерения времени t проводят трижды, отсчитывая разное число полных колебаний. Число N колебаний от 3-х до 8-ми задаётся обычно преподавателем или лаборантом. Данные заносят в табл. 3.1. Не забудьте указать единицы измерения!
Таблица 3.1
| Тело расположено на подвеске… | |||||||
| горизонтально | вертикально | ||||||
| N | t | T | áTгñ | N | t | T | áTвñ |
| … … … | … … … | … … … | … | … … … | … … … | … … … | … |
Затем вместо исследуемого тела на подвеску помещают поочередно два разных кольца, и проводят аналогичные измерения. Результаты измерений заносят в табл. 3.2. В эту же таблицу записывают характеристики колец: внешний диаметр D, внутренний диаметр d и массу m. Масса в граммах указана на каждом кольце, а внутренний и внешний диаметры колец измеряют штангенциркулем.
Таблица 3.2
| Измерения с кольцами | |||||||
| 1-е кольцо m1 = … кг; D1 = ... мм; d1 = … мм | 2-е кольцо m2 = … кг; D2 = … мм; d2 = … мм | ||||||
| N | t | T | áT1ñ | N | t | T | áT2ñ |
| … … … | … … … | … … … | … | … … … | … … … | … … … | … |