Главная | Обратная связь

Диференціальне формулювання закону Джоуля-Ленца

 

Як і для закону Ома, візьмемо трубку струму силою довжиною з площею перерізу і падінням напруги . Тоді

.

Знаки ми врахували, знаючи, що і що . Тоді

,

де об’єм трубки.

Введемо диференціальну величину

,

що дорівнює кількості тепла, яка виділяється за 1 секунду в одиниці об’єму. В загальному випадку та для анізотропних речовин, коли тензор, і вектор не паралельний вектору , маємо

.

Для ізотропного середовища

закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі. Як і для закону Ома, ці диференціальні співвідношення можна використати, коли змінюються від точки до точки.

 

 

Сторонні е.р.с.

 

Давайте порівняємо процеси створення електростатичного поля і протікання струму. Електростатичне поле вимагає втрати енергії тільки при його створенні. Протікання постійного струму супроводжується неперервним виділенням тепла Джоуля-Ленца і, відповідно, неперервним втратам енергії. Ці втрати повинні неперервно ж відшкодовуватись за рахунок інших видів енергії – механічної (динамо-машина), хімічної (гальванічні елементи, акумулятори), теплової (термоелементи), тощо. Це означає, що в колі постійного струму повинні існувати джерела енергії, які використовують некулонівські, так звані сторонні сили.

Наявність сторонніх сил означає, що у всьому колі постійного струму, або в якійсь його частині, на носій струму, крім кулонівського поля , повинні діяти сторонні сили . Поділивши ці сили на заряд носія струму , отримаємо напруженість поля сторонніх сил

.

З урахуванням поля сторонніх сил, закон Ома ми повинні записати у вигляді

.

При цьому поле сторонніх сил може існувати як у всьому колі, так і на будь-якій його ділянці.

Свого часу ми вводили різницю потенціалів двох точок 1 і 2 як роботу кулонівського поля по переміщенню одиничного позитивного точкового заряду з точки 1 до точки 2

.

Аналогічно введемо роботу сторонніх сил по переміщенню заряду з точки 1 в точку 2

.

 

і назвемо цю величину електрорушійною силою (е.р.с.).

Візьмемо тепер яку-небудь ділянку кола постійного струму від точки 1 до точки 2. На цій ділянці можуть діяти е.р.с., а еквівалентний опір ділянки (опір всього, що на ній є). Запишемо закон Ома для цієї ділянки

.

Помножимо скалярно на

,

поділимо на

і проінтегруємо від 1 до 2

.

За означеннями

; .

в лівій частині помножимо чисельник і знаменник під знаком інтегралу на площу перерізу , яка нормальна до вектора . Тоді, оскільки на малій ділянці кола ,

,

де опір ділянки довжиною . При цьому і можуть змінюватись вздовж кола, але (нагадую, що ми розглядаємо постійний струм). В результаті маємо

,

звідки

 

маємо закон Ома для ділянки кола з урахуванням е.р.с. Отже, добуток сили струму на опір довільної ділянки провідника дорівнює сумі падіння напруги та сторонньої е.р.с., прикладених до цієї ділянки.

Правила Кірхгофа

 

Все, що ми розглядали до сих пір, стосувалось окремої лінійної ділянки провідника. На практиці найчастіше мають справу із певними розгалуженнями провідників.

Нехай є деякий вузол, в якому сходяться декілька провідників. Оточимо цей вузол замкнутою поверхнею і знайдемо силу струму через неї

.

Інтегрування треба проводити тільки по тим частинам поверхні, які перетинають провідники, а на інших частинах , тобто

Але сила струму в провіднику. Із закону збереження заряду в інтегральній формі для постійного струму маємо

.

В результаті отримаємо перше правило Кірхгофа

 

,

 

тобто алгебраїчна сума всіх струмів у вузлі дорівнює нулю.

Тепер візьмемо коло, яке складається з ряду вузлів, декількох джерел е.р.с., тощо. Виділимо замкнутий контур в цьому колі. Цей контур складається, наприклад, з ділянок, таких, як на рисунку.

Для ділянки вибраного нами кола скористаємось законом Ома для кола, що містить джерело е.р.с.

.

Тоді, додаючи рівняння для всіх ланцюгів обраного нами контуру, маємо

.

Але циркуляція вектору напруженості електричного поля , тому . Звідси отримуємо друге правило Кірхгофа

,

 

тобто для будь-якого замкнутого контуру сума всіх падінь напруги дорівнює сумі всіх електрорушійних сил у цьому контурі.

Разом з першим правилом для кожного вузла, можемо одержати, вибираючи декілька замкнутих контурів, систему рівнянь, яка достатня для розрахунку складного кола (наприклад, для знаходження всіх струмів). Можна показати (але ми цього не будемо робити), що число незалежних рівнянь, які ми можемо записати при цьому, завжди дорівнює числу невідомих струмів, і тому обидва правила Кірхгофа дають загальний метод для розв’язування задач на розгалужені кола. При цьому напрямки струмів, що протікають, нам заздалегідь невідомі, тому ми їх вибираємо довільно. Якщо після розв’язку системи деякий струм одержуємо зі знаком (+), то ми вірно вгадали його напрям. Якщо ж рішення одержуємо зі знаком (–), то треба змінити вибраний спочатку напрям.