 |
|
Лекция 2. Молекулярно-кинетическое описание свойств идеального газа.
Модель идеального газа: учитываются лишь столкновения молекул газа со стенками. При этом давление определяется как сила ударов молекул, усредненная во времени и отнесенная к единице площади.
Разделим молекулы на группы по значениям скорости. В 
– ой группе скорость всех молекул в данный момент времени равна 
. Молекулы, которые ударятся о площадку 
на стенке сосуда за время 
находятся внутри наклонного цилиндра с основанием и образующей 
(рис. 1.1). Число ударов таких молекул за время
,
где 
- концентрация молекул в - ой группе, 
- проекция скорости на ось 
, перпендикулярную площадке .
При ударе каждая молекула газа сталкивается с молекулой стенки. При этом средняя энергия молекул газа не изменяется. Для удобства вычислений разделим процесс взаимо-действия со стенкой на два этапа: 1) “прилипание” к стенке (остановка); 2) отталкивание от стенки.
Первый этап. Полный импульс молекул - ой группы
.
Сила, действующая на площадку со стороны молекул - ой группы на этом этапе
.
Сила со стороны всех молекул газа
.
Второй этап. Сила со стороны всех молекул на втором этапе (сила отдачи)
.
Тогда полная сила, действующая на площадку
.
Из хаотичности движения следует, что
, 
.
При этом проекция силы на ось всегда больше нуля
.
Следовательно, давление газа
.
Определим среднее от произведения 
по всем молекулам
, где 
- полная концентрация молекул.
Тогда давление идеального газа можно представить в виде
, (1)
так как в силу хаотичности движения молекул 
.
Уравнение (1) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. В такой форме оно применимо и к релятивистским частицам. В частности, с помощью него можно вычислить давление фотонного газа. Для молекул, движущихся по законам классической механики 
и уравнение (1) принимает вид
. (2)
Введем понятие среднеквадратичной скорости молекул 
. Умножая (2) на молярный объем газа 
, получим
, 
.
Тогда для средней кинетической энергии молекул 
получим
. (3)
Выражение (3) справедливо только для одноатомных молекул, так как мы считали молекулы материальными точками. Оно позволяет определить абсолютную температуру как меру средней кинетической энергии теплового движения молекул.
В курсе механики мы определили число степеней свободы тела как наименьшее число координат, необходимых для определения положения тела в пространстве.
Одноатомная молекула: 
.
Двухатомная молекула: 
(три координаты центра масс и два угла относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс).
Молекула из трех и большего числа атомов: 
(три координаты центра масс и три угла относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс).
Такие значения соответствуют случаю “жестких” молекул, в которы атомы не могут двигаться относительно друг друга. Ниже мы рассмотрим более общий случай.
В курсе статистической физики будет доказан следующий закон.
Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.
На каждую степень свободы молекулы вещества в среднем приходится кинетическая энергия, равная 
.
Мы доказали этот закон для частного случая идеального одноатомного газа:
.
Для произвольного газа с числом степеней свободы молекул равным
.
Рассмотрим теперь “нежесткую” двухатомную молекулу, в которой атомы связаны между собой посредством упругой силы. Такая молекула обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенью свободы. При малых амплитудах колеба-ния атомов будут гармоническими. В курсе механики было показано, что в этом случае средние за период колебаний значения кинетической и потенциальной энергии равны друг другу. Значит по закону равномерного распределения энергии на каждую колебательную степень свободы приходится энергия
.
Колебательные степени свободы молекул газа при обычных температурах не проявляются. Они начинают влиять на теплоемкость газа при температурах порядка 10000С.