Главная | Обратная связь

Основы теории суммирования погрешностей

Лекция 10 СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

Определение расчетным путем оценки результирующей погреш­ности по известным оценкам ее составляющих называется суммированием погрешностей.

Главной проблемой, возникающей при суммировании, являет­ся то, что все составляющие погрешности должны рассматриваться как случайные величины. С точки зрения теории вероятностей они наиболее полно могут быть описаны своими законами распределе­ния, а их совместное действие – соответствующим многомерным распределением. Однако в такой постановке задача суммирования погрешностей практически не разрешима уже для нескольких со­ставляющих, не говоря о нескольких десятках.

Практически приемлемый путь решения данной задачи сумми­рования погрешностей состоит в отказе от определения и использо­вания многомерных функций распределения составляющих погреш­ности. Необходимо подобрать для характеристик составляющих такие числовые оценки (СКО, эксцесс и др.), оперируя с которыми можно было бы получить соответствующие числовые оценки ре­зультирующей погрешности. При этом следует учитывать, что:

• отдельные составляющие погрешности могут быть коррелированны между собой;

• при суммировании случайных величин их законы распределе­ния существенно деформируются, т.е. форма закона суммы может резко отличаться от формы закона распределения составляющих.

Правила суммирования погрешностей основываются на том, что погрешность по абсолютному значению всегда много меньше са­мой измеряемой величины. Поэтому изменение погрешности в зави­симости от изменения измеряемой величины может быть учтено, если все суммируемые случайные и систематические составляющие пог­решности разделить на аддитивные и мультипликативные. Сумма аддитивных составляющих даст значение аддитивной части результи­рующей погрешности, а сумма мультипликативных составляющих – значение мультипликативной части результирующей погрешности.

В пределах некоторого диапазона изменения, как правило, де­сятикратного, измеряемой величины изменение результирующей погрешности может быть с достаточной степенью точности пред­ставлено прямой линией или простейшей кривой (парабола, гипер­бола). Это дает возможность описать результирующую погрешность линейной или нелинейной двухзвенной формулой. При большем из­менении измеряемой величины весь диапазон разбивается на учас­тки, для которых и определяются крайние погрешности.

Пример 10.1 Основная допускаемая погрешность измерения сопротивле­ния цифрового микропроцессорного измерителя иммитанса марки Е7-14 при различных диапазонах измерения и добротностях Q приведена в таблице.

Диапазон измерения	Конечное значение диапазона Rk, Ом	Предел допустимого значения основной погрешности, Ом.
0,1…1000мОм		10–3(1+Q)R+3·10–4Rk
0,001…10 Ом		10–3(1+Q)R+2·10–4Rk
0,01…100 Ом		10–3(1+Q)R+2·10–4Rk
100…1000 Ом		[10–3(1+Q)R+2·10–3 R/Rk]R
1…10кОм		[10–3(1+Q)R+2·10–3 R/Rk]R

 

Для устранения влияния деформации формы законов распреде­ления все суммируемые составляющие исходно представляются сво­ими СКО и все операции расчетного суммирования проводятся только над ними. Учет взаимных корреляционных связей между сумми­руемыми составляющими производится путем использования раз­личных правил суммирования для жестко и слабо коррелирован­ных составляющих. Эти правила рассмотрены далее.

В результате суммирования СКО составляющих получаются сред­ние квадратические отклонения соответственно аддитивной, муль­типликативной или нелинейной составляющих результирующей погрешности. СКО аддитивной составляющей результирующей пог­решности будет характеризовать результирующую погрешность в начале диапазона. Сумма СКО аддитивной и мультипликативной составляющих в конце диапазона описывает результирующую пог­решность в конце диапазона. Если участков несколько, то сумми­рование проводится на всех участках, а затем принимается реше­ние о методе описания результирующей погрешности.

Результирующую погрешность необходимо выразить в виде до­верительного интервала. Его расчет по полученному СКО является с точки зрения теории самой трудной операцией при суммирова­нии погрешностей. Это связано с тем, что доверительный интервал равен произведению рассчитанного СКО и множителя, зависящего от закона распределения результирующей погрешности. В то же время вся излагаемая методика с самого начала была нацелена на то, чтобы обойтись без точного определения результирующего за­кона распределения суммы всех составляющих.

Практические правила расчетного суммирования результирую­щей погрешности состоят в следующем:

1. Для определения суммарного значения СКО должны учиты­ваться корреляционные связи различных составляющих погреш­ности. В связи с этим исходными данными для более точного рас­чета должны служить оценки именно всех отдельных составляющих погрешности, а не оценки некоторых суммарных погрешностей.

2. Для каждой составляющей должно быть найдено ее СКО. В большинстве случаев для этого необходимо знание или предпол­ожение о виде закона ее распределения.

3. Все суммируемые составляющие разделяются на аддитивные и мультипликативные составляющие, которые суммируются отдель­но.

4. Так как в большинстве случаев точное значение коэффициен­та корреляции ρ найти невозможно, то все погрешности должны быть условно разделены на:

• сильно коррелированные при 0,7 <1, для которых счита­ют ρ = ±1 в зависимости от знака коэффициента корреляции;

• слабо коррелированные при 0 0,7, для которых ρ = 0.

5. Из суммируемых составляющих выделяются группы сильно коррелированных между собой погрешностей, и внутри этих групп производится алгебраическое суммирование их оценок.

6. После алгебраического суммирования групп сильно коррели­рованных погрешностей суммарные по группам и оставшиеся вне групп погрешности можно считать некоррелированными и склады­вать по правилу геометрического суммирования.

Для определения СКО суммарной погрешности при начальном значении измеряемой величины складывают лишь аддитивные со­ставляющие, а для определения СКО погрешности в конце диапа­зона изменения измеряемой величины – все просуммированные выше составляющие.

7. Для перехода от СКО погрешности к доверительному значе­нию должно быть вынесено суждение о форме закона распределения результирующей погрешности и тем самым выбрано значение квантильного множителя.

Изложенная методика может быть несколько упрощена. Самым сложным в ней являются нахождение СКО всех составляющих по известным их интервальным оценкам и определение интервальной оценки результирующей погрешности по полученному СКО.

В обоих случаях необходимо знание закона распределения пог­решностей. Упрощение методики суммирования состоит в том, что­бы сделать эти переходы по возможности более простыми. Один из вариантов состоит в следующем. Согласно центральной предельной теореме, если число суммируемых независимых составляющих до­статочно велико (практически при m 5) и если среди этих состав­ляющих нет существенно преобладающих над остальными, то ре­зультирующий закон распределения близок к нормальному. Однако предположение о близости закона распределения к нормальному без соответствующего анализа достаточно рискованно даже и при боль­шом числе суммируемых составляющих. Тем не менее, при недо­статке времени и невысоких требованиях к точности получаемого результата предположение о нормальности закона распределения результирующей погрешности вполне возможно. В этом случае до­верительный интервал , где z_р – квантильный множитель, определяемый через функцию Лапласа; S_Σ – суммарное СКО или его оценка.

Такой прием существенно снижает трудоемкость расчетов, но может вносить весьма значительные ошибки, если реальное рас­пределение сильно отличается от нормального закона. Например, при фактическом арксинусоидальном распределении ошибка мо­жет достигать 180 %. Поэтому использовать его надо весьма ос­мотрительно.

В качестве другого пути упрощения перехода от СКО результи­рующей погрешности к ее интервальной оценке следует указать воз­можность использования доверительной вероятности Р_д = 0,9, при которой для большой группы различных распределений имеет мес­то соотношение

(10.1)

Действительно, для широкого класса симмет­ричных, высокоэнтропийных (k >1,7) распределений, а именно для равномерного, треугольного, трапецеидальных, нормального, экспоненциальных с показателем степени α 2/3, двухмодальных с глубиной антимодальности менее 1,5, интегральные кривые F(х) в области 0,05 и 0,95 квантилей пересекаются между собой в очень узком интервале значений Х/S= 1,6 ± 0,05. Поэтому с погрешностью 0,05S можно считать, что квантили 0,05 и 0,95 для любых из этих распределений могут быть найдены как

Х_0,05 = Х_ц – 1,6S и Х_0,95 = Х_ц + 1,6S,

где Х_ц – координата центра распределения; SТ – его СКО. Отсюда следу­ет, что значение доверительного интервала, найденное по формуле (10.1), для любого из названных распределений является интервалом с 90%-ной доверительной вероятностью.

При Р_д > 0,9 интегральные кривые для разных законов рас­пределения резко расходятся между собой. В этом случае для нахождения доверительного интервала вместо большого числа таблиц квантилей разнообразных распре­делений нужно найти для близких классов распределений аппроксими­рующие выражения , где ε – эксцесс распределения.

Для входящих в классы экспоненциальных и трапецеидальных распределений, а именно: распределения Лапласа (ε = 6); нормаль­ного распределения (ε = 3); трапецеидального распределения с соот­ношением верхнего и нижнего оснований 1:2 (ε = 2) и равномерного распределения (ε = 1,8), зависимость квантильного множителя от эксцесса и доверительной вероятности аппроксимируется уравнением

(10.2)

Погрешность аппроксимации не превышает 4% при изменении Р от 0,9 до 0,99 и 8% – от 0,9 до 0,999.

Для кругловершинных двухмодальных распределений, представ­ляющих собой композицию нормального и дискретного двузначного распределений, в диапазоне изменения ε от 3 до 1,3 для Р от 0,9 до 0,999 с погрешностью 10% зависимость аппроксимирует­ся выражением

 

(10.3)

Для островершинных двухмодальных распределений, образую­щихся как композиция распределения Лапласа и дискретного двуз­начного распределения, рассматриваемая зависимость в интервале значений ε от 1,8 до 6 при Р от 0,9 до 0,999 с погрешностью 5% аппроксимируется формулой

(10.4)

Для уплощенных распределений, образующихся как компози­ция экспоненциального распределения с α = 1/2 и равномерного рас­пределения в интервале значений ε от 6 до 1,8 с погрешностью 8%, рассматриваемая зависимость аппроксимируется формулой

(10.5)

Использование приведенных уравнений позволяет, не прибегая к таблицам, с достаточной для практики степенью точности вычис­лять доверительные интервалы для всех встречающихся распреде­лений погрешностей. Однако для выбора формулы нужно вынести суждение о классе распределения суммарной погрешности.

Дальнейшие упрощения методики, выражающиеся в пренебре­жении разделением погрешностей на аддитивные и мультиплика­тивные, коррелированные и некоррелированные, недопустимы, пос­кольку при суммировании погрешностей получены неверные результаты.