Главная | Обратная связь

Область высоких температур

При высоких температурах формула (7.4) переходит в классический закон Дюлонга и Пти.

Атомы твердых тел совершают при любой температуре выше 0 К тепловые колебания около положений равновесия, которые рассматриваются как их коллективное движение в пространственно упорядоченной системе (кристалле), называемое нормальным колебанием решетки.

Число нормальных колебаний в решетке равно числу степеней свободы частиц в кристалле, т. е. 3N, где N – число частиц в кристалле.

Поэтому в таком кристалле возбуждается целый спектр частот, число которых и равно N.

В зависимости от типа колебаний атомов в решетке кристалла различают акустические колебания, например, цепочки, состоящей из атомов двух сортов, совершающих колебания практически в одной фазе (рис. 7.4, а); оптические колебания атомов, которые колеблются в противоположных фазах (рис. 7.4, б) и др.

Рис. 6.4

Акустические колебания играют основную роль в определении тепловых свойств кристалла: теплоемкости, теплопроводности и другие.

Оптические колебания – в процессах взаимодействия света с кристаллом.

Одним из вопросов теории колебаний кристаллической решетки является вопрос о распределении нормальных колебаний по частотам.

Максимальная частота, ограничивающая спектр нормальных колебаний сверху w_D называется характеристической дебаевской частотой

 

где N – число атомов; V – объем кристалла; u – скорость звука.

Дебаевская частота связана с характеристической температурой Дебая

где h – постоянная Планка; k – постоянная Больцмана.

Минимальная порция энергии, которую может поглотить или испустить решетка при тепловых колебаниях, соответствует переходу возбуждаемого нормального колебания с данного энергетического уровня на соседний уровень и равна e_ф= ,

где w = 2pn; n – частота колебания. Эту порцию или квант энергии тепловых колебаний решетки называют фононом.

Следовательно, поле упругих волн, заполняющих кристалл, можно рассматривать как газ, образованный квантами нормальных колебаний решетки – фононами, обладающими энергией и импульсом.

Поведение фононного газа описывается функцией распределением Бозе – Эйнштейна.

Используя квантовую механику для описания поведения ансамбля взаимосвязанных частиц при низких температурах,

Дебай решил упрощенную задачу, позволяющую отвлечься от атомной структуры тела, введя существование в нем нормальных колебаний, рассматривая их как стоячие инфразвуковые волны в упругой сплошной среде.

Это те же волны, которые вызывают тонкую структуру спектральных линий при молекулярном рассеянии света (эффект Мандельштама – Брюллюэна).

Следовательно, существующие низкие собственные частоты тел могут быть вычислены методами теории упругости для сплошных сред.

Известно, что в твердом теле могут распространяться как продольные, так и поперечные звуковые волны.

В одном и том же направлении может распространяться только одна продольная звуковая волна определенной частоты.

Поперечных же звуковых волн, распространяющихся с той же частотой и в том же направлении, может быть две. Тогда средняя скорость звука будет определяться соотношением

 

, (7.6)

 

где u_II – скорость распространения продольных звуковых волн; u_^ – поперечных звуковых волн.

С учетом этого внутренняя энергия кристалла по Дебаю изменяется по закону

 

(7.7)

 

где U_m0 = RQ_D – молярная нулевая энергия по Дебаю.

Тогда молярная теплоемкость кристалла

 

. (7.8)

 

При Т << Q_D, т. е. в области низких температур

 

(7.9)

или для одного моля

, (7.10)

 

где V – объем кристалла; – постоянная Планка; u – скорость звука.

Замечание: В случае металлов к теплоемкости решетки нужно добавить теплоемкость свободных электронов (теплоемкость электронного газа).