Главная | Обратная связь

Энергетические зонные диаграммы полупроводников

Электроны при движении по кристаллу испытывают периодическое воздействие ионов решетки. Зонный характер энергетических спектров рассчитывается в соответствие с одночастичным уравнением Шредингера:

Поскольку потенциал V(r) периодически зависит от координат (с пространственными периодами, равными соответствующим постоянным кристаллической решетки), то согласно теореме Блоха решения уравнения Шредингера имеют вид (блоховская функция):

φ_k(r) = e^jkrU_n(k,r)

где U_n(k,r) - периодические функции координат с периодом прямой решетки, а n -индекс соответствующей зоны.

Из теоремы Блоха следует, что энергия E_k является периодической функцией волнового вектора k в пространстве векторов обратной решетки. Таким образом, функцию E_k при данном значении зонного индекса n полностью определяют ее значения при волновых векторах, лежащих в пределах элементарной ячейки обратной решетки кристалла. Применительно к электронным состояниям ее называют зоной Бриллюэна или первой зоной Бриллюэна.

Зонные энергетические спектры твердых тел рассчитываются теоретически с помощью различных приближенных методов. Результаты теоретических рас­четов энергетических спектров GaAs приведены на рис. 1.5.

Рис.1.5 Энергетические зонные диаграмма прямозонного(GaAs) и нерямозонного (AlAs) полупроводников в k - пространстве.

В энергетическом спектре имеется область запрещенных энергий, в которой не существует электронных состояний. Эти состояния образуют разрешенные зоны с энергиями выше и ниже этой энергетической щели. Верхнюю разрешенную энергетическую зону называют зоной проводимости, а нижнюю - валентной. Расстояние между ниж­ним (дном зоны проводимости) и верхним (потолком валентной зоны) краями называется шириной запрещенной зоны E_g.

Валентная зона в кристаллах со структурой цинковой обманки состоит из четырех подзон (если пренебречь спином в уравнении Шредингера), двукратно вырожденных по спину. Три из них вырождены в центре зоны при k = 0 (Г-точка) и формируют верхний край валентной зоны, а четвертая подзона образует ее дно. Спин-орбитальное взаимодействие частично снимает вырож­дение при k = 0 и приводит к отщеплению одной подзоны (спин-орбитальное расщепление). Как видно из рис. 1.5, две оставшиеся подзоны у потолка валентной зоны можно аппроксимировать параболическими зависимостями с различной кривизной. Зона, которой отвечает меньшая произ­водная ∂²Е/∂k², называется зоной тяжелых дырок, а зона с боль­шим значением ∂²Е/∂k²— зоной легких дырок. В общем случае эффективная масса является тензором, компоненты которого определяются соотношением:

Зона проводимости также состоит из нескольких подзон (рис. 1.5). Дно зоны проводимости может быть расположено либо на осях (111) (L), либо на осях (100) (Δ), либо при k = 0 (Г). Более точных выводов о положении энергетических минимумов на этих осях из соображений симметрии сделать не удается. В GaAs дно зоны проводимости находится при k = 0. Минимумы энергии в зоне проводимости обозначают следующим образом:

E_g(k=0) = E_g^Г, E_g([001]) = E_g^X, E_g([111]) = E_g^L

Ширина запрещенной зоны материала равна минимальному значению E_g^Г,E_g^X, E_g^L, т.е. E_g = min(E_g^Г,E_g^X, E_g^L).

Значения E_g^Г,E_g^X, E_g^L для разных материалов А³В⁵ приведены таблице 1.2. Видно, что минимальное значение Eg не обязательно достигаются при k = 0. Соответственно, материалы разделяются на прямозонные полупроводники, в которых min(E_g) расположен при k = 0, (см. рис.1.5а) и непрямозонные полупроводники, в которых min(E_g) расположен при k ≠ 0, (см. рис. 1.5б).

Таблица 1.2

При анализе работы полупроводниковых приборов обычно используют упрощенную зонную пространственную диаграмму полупроводника, показанную на рис. 1.6.

Рис.1.6 Упрощенная пространственная энергетическая диаграмма полупроводника

Здесь, как обычно, положение дна зоны проводимости обозначено символом E_c, а потолка валент­ной зоны - E_v. Энергия электрона считается увеличивающейся в направлении снизу вверх, в то время как для дырок энергия тем больше, чем ниже она отстоит от потолка валентной.зоны.