Главная | Обратная связь

Для косвенных измерений

1. Для каждой серии измерений величин, входящих в определение искомой величины, проводят обработку, как описано выше. При этом для всех измеряемых величин задают одно и то же значение надежности α.

2. Определяют значение функции .

3. Если это целесообразно, логарифмируют функцию и представляют ее в виде суммы и разности логарифмов в соответствии с конкретным видом функциональной зависимости (правила логарифмирования см. в приложении 2).

4. Определяют абсолютную или относительную погрешность резуль­тата серии косвенных измерений:

или

5. Оценивают относительную погрешность серии измерений или границы доверительного интервала для результата косвенных измерений .

6. Окончательный результат записывают в виде:

.

Примеры приведены в приложении 4.

 

Графический метод определения погрешностей

 

Графики

 

Более наглядными, чем таблицы, являются графики зависимостей исследуемых физических величин. Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно при интерпретации полученных данных, так как графическая информация обладает значительной емкостью и легко воспринимается. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента. Ниже изложены рекомендации по построению графиков.

Выбор бумаги. Графики строят только на бумаге, имеющей координатную сетку. Это может быть обычная миллиметровая бумага с линейным масштабом по осям или логарифмическая бумага. Логарифмическую бумагу используют реже, поэтому отметим, что она бывает двух типов. У бумаги первого типа по одной оси масштаб линейный, по другой – логарифмический. Бумага второго типа имеет логарифмический масштаб по обеим осям.

Распределение осей. Графики, за редким исключением, строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, независимую физическую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую физическую величину.

Выбор масштабов. Обычно график строят на основании таблицы экспериментальных данных, откуда легко установить интервалы, в которых изменяются аргумент и функция. Их наименьшее и наибольшее значения задают значения масштабов, откладываемых вдоль осей. Не следует стремиться поместить на осях точку (0,0), используемую как начало отсчета на математических графиках. Для экспериментальных графиков масштабы по обеим осям выбирают независимо друг от друга и, как правило, соотносят с погрешностью измерения аргумента и функции: желательно, чтобы цена наименьшего деления каждой шкалы примерно равнялась соответствующей погрешности.

Масштабная шкала должна легко читаться, а для этого необходимо выбрать удобную для восприятия цену деления шкалы: одной клетке должно соответствовать кратное 10 количество единиц откладываемой физической величины: 10ⁿ, или , где n – любое целое число, положительное или отрицательное. Так, числа 2; 0,5; 100; 0,02 – подходят, а числа 3; 7; 0,15 – не подходят для этой цели.

При необходимости масштаб по одной и той же оси для положительных и отрицательных значений откладываемой величины может быть выбран разным, но только в том случае, если эти значения отличаются не менее чем на порядок, т.е. в 10 раз и более. Примером может служить вольтамперная характеристика диода, когда прямой и обратный токи отличаются не менее, чем в тысячу раз: прямой ток составляет миллиамперы, обратный – микроамперы.

Нанесение шкал. Стрелки, задающие положительное направление, на координатных осях обычно не указывают, если выбрано принятое положительное направление осей: снизу – вверх и слева – направо. Надписи, соответствующие осям, располагают так: ось абсцисс – справа внизу, ось ординат – слева вверху. Против каждой оси указывают название или символ откладываемой по оси величины, а через запятую – единицы ее измерения, причем все единицы измерения приводят в русском написании в системе СИ. Числовой масштаб выбирают в виде равноотстоящих по значению «круглых чисел», например: 2; 4; 6; 8 … или 1,82; 1,84; 1,86 … Десятичный множитель масштаба, как в таблицах, относится к единицам измерения, например, вместо 1000; 2000; 3000 … получится 1; 2; 3 … с общим множителем 10^-3, указанным перед единицей измерения.

Поясним это на примере. Пусть вдоль оси нужно отложить длину нити математического маятника. При проведении опытов были использованы следующие значения длины: 39 см, 40 см, 41 см, 42 см, 43 см. В системе СИ это будет выглядеть так: 0,39 м, 0,40 м, 0,41 м, 0,42 м, 0,43 м или 39×10^-2 м, 40×10^-2 м, 41×10^-2 м, 42×10^-2 м, 43×10^-2 м. Т.е. l = x × 10^-2 м. Около рисок на оси нам нужно проставить величину x. Выразим ее: х = l × 10² м. Таким образом, около рисок будут стоять числа без каких-либо множителей, а около оси – обозначение величины с соответствующим множителем и единицей измерения. Аналогично оцифровывается ось для квадрата периода колебаний (рис. 9).

Также заполняются и шапки таблиц.

Масштабные риски проставляют по осям на одинаковом расстоянии друг от друга, чтобы они выходили на поле графика. По оси абсцисс цифры числового масштаба пишут под рисками, по оси ординат – слева от рисок.

Нанесение точек. Экспериментальные точки аккуратно наносят на поле графика карандашом. Их всегда проставляют так, чтобы они были отчетливо различимы. Если в одних осях строят различные зависимости, полученные, например, при измененных условиях эксперимента или на разных этапах работы, то точки таких зависимостей должны отличаться друг от друга. Их следует отмечать разными значками (квадратами, кружками, крестиками и т.п.) или наносить карандашами разного цвета. Расчетные точки, полученные путем вычислений, размещают на поле графика равномерно. В отличие от экспериментальных, они должны слиться с теоретической кривой после ее построения. Расчетные точки, как и экспериментальные, наносят карандашом – при ошибке неверно поставленную точку легче стереть. Выносные координатные линии при нанесении точек не используют, так как для этих целей существует сетка миллиметровки, а лишние линии засоряют график, делая его неудобным для восприятия и работы с ним. На рис. 10 приведена полученная по точкам экспериментальная зависимость, которая построена на бумаге, имеющей координатную сетку.

Проведение кривых. Экспериментальные точки с помощью карандаша соединяют плавной кривой, чтобы они в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Нет смысла стремиться провести кривую через каждую экспериментальную точку – ведь кривая является только интерпретацией результатов измерений известных из эксперимента, с погрешностью. По сути, есть только экспериментальные точки, а кривая – произвольное, не обязательно верное, домысливание эксперимента. Представим, что все экспериментальные точки соединены и на графике получилась ломаная линия. Она не имеет ничего общего с истинной физической зависимостью! Это следует из того, что форма полученной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.

Напротив, теоретическую зависимость строят на графике таким образом, чтобы она плавно проходила по всем расчетным точкам. Это требование очевидно, так как теоретические значения координат точек могут быть вычислены сколь угодно точно.

Правильно построенная кривая должна заполнять все поле графика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить зависимость.

Отображение погрешностей измерений на графике. Результаты измерений, на основании которых строят экспериментальные зависимости, содержат погрешности. Чтобы указать их значения на графике, используют два основных способа.

Первый упоминался при обсуждении вопроса выбора масштабов. Он состоит в выборе цены деления масштабной шкалы графика, которая должна равняться погрешности откладываемой по данной оси величины. В таком случае точность измерений не требует дополнительных пояснений.

Если достичь соответствия погрешности и цены деления не удается, используют второй способ, заключающийся в прямом отображении погрешностей на поле графика. А именно, вокруг проставленной экспериментальной точки строят два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. В выбранном масштабе длина каждого отрезка должна равняться величине удвоенной погрешности, откладываемой по параллельной оси. Центр отрезка должен приходиться на экспериментальную точку. Отметим, что указанный способ чаще всего применяют тогда, когда погрешности меняются от измерения к измерению. Иллюстрацией способа служит рис. 11.

Завершение работы.

График нумеруют, ему дают название, кратко отражающее содержание построенной зависимости. Все графические символы, использованные при построении, поясняют в подписи к графику, которую располагают под графиком или на не занятой графиком части поля.

Правила оформления графиков в учебниках, научных публикациях, монографиях несколько отличаются от изложенных выше, что, в первую очередь, связано с их иллюстративным характером. Большинство таких графиков имеют смысл рисунков, так как на них часто не приводят масштабную сетку и масштабы по осям, не обозначают единицы измерения откладываемых величин. Отчасти все это объясняется малыми размерами самих графиков, на которых просто не остается места для дополнительных надписей и линий.