Математический маятник
Цель работы: изучение гармонических колебаний, экспериментальная проверка зависимости периода колебаний маятника от его длины; определение ускорения свободного падения. Основные теоретические положения
Колебательным движением или колебанием называется такое движение, при котором тело остается вблизи некоторого положения равновесия. В качестве примеров колебаний на рис. 4.1 приведены математический, пружинный и физический маятники. Если положение системы в любой момент времени может быть описано единственным параметром, то говорят, что система имеет одну степень свободы. Для всех систем с одной степенью свободы, вне зависимости от их физической природы, закон движения имеет одну и ту же математическую форму. Получим ее на примере пружинного маятника (рис. 4.1). На первом этапе рассмотрения силу сопротивления не учитываем.
Определим положение точки массой m ее смещением x из положения равновесия, в котором x = 0. Сила упругости , действующая на массу, будет стремиться вернуть ее в положение равновесия. Она называется возвращающей силой. По закону Гука , k>0 . Знак «минус» означает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. По второму закону Ньютона имеем: , где − ускорение точки. Так как , то , . Так как k>0, m>0, то можно положить . Тогда
(4.1)
Для того чтобы определить закон колебательного движения, необходимо решить дифференциальное уравнение (4.1), то есть найти зависимость . Предположим, что
где и − произвольные постоянные величины. Подставив функцию (4.2) в уравнение (4.1), вычислив предварительно производные, можно убедиться, что она является решением уравнения и описывает гармоническое колебательное движение (рис. 4.2). Исследуем эту функцию в различные моменты времени, считая (рис. 4.3): . В момент времени точка находится в положении максимального правого отклонения, в момент − в положении равновесия, в момент − в положении максимального левого отклонения, и, наконец, в момент точка возвращается в положение равновесия. Таким образом колеблющаяся точка проходит каждую точку своего пути, в данном примере – положение равновесия, два раза за время . Это время T называется периодом колебаний. Величина , показывающая, сколько колебаний точка совершает за единиц времени, называется круговой или циклической частотой колебаний. Величина А является наибольшим отклонением колеблющейся точки от положения равновесия амплитудой колебаний. Начальная фаза определяет полож
Вычислим период колебаний математического маятника (см. рис. 4.1). Из треугольника сил видно, что . Если угол отклонения мал, то , . Знак «минус» означает, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную направлению отсчёта угла против часовой стрелки. Так как − это касательное к траектории ускорение, то по второму закону Ньютона имеем . Тогда: , или , , , или . (4.3) Из формулы (4.3) следует, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза. Поэтому для данного положения на Земле и для определенного значения g период зависит только от длины подвеса l. В частности, в той степени, в какой справедливо приближение , период колебаний не зависит от амплитуды. Определим теперь период колебаний математического маятника в зависимости от амплитуды. На основании закона сохранения энергии и рис. 4.1 имеем (4.4)
Из равенства (4.4) легко найти круговую частоту и период колебаний: , (4.5) где К(k)= − полный эллиптический интеграл первого рода. При малых колебаниях, когда выполнено , разложение функции K(k) в ряд даёт . (4.6) Нетрудно увидеть, что при из (4.6) следует выражение для периода малых колебаний (4.3).
Лабораторная установка и проведение эксперимента.
Обработка результатов и расчёт погрешностей 1. Погрешности периода колебаний определить по методике расчёта погрешностей прямых многократных измерений, задавая доверительную вероятность и коэффициент Стьюдента. 2. При проверке независимости периода колебаний от амплитуды сравниваются периоды для различных амплитуд и находится такая величина , при которой . Это означает, что при амплитуде колебаний , большей , период зависит от амплитуды. Задание 2. Изучение зависимости периода малых колебаний от длины маятника. Изменяется длина маятника l и определяется период колебания. При этом масса маятника не изменяется, а амплитуда выбирается такой, при которой период не зависит от амплитуды. Для каждого значения длины маятника определяется время отклонений.
Обработка результатов и расчёт погрешностей
При обработке данных проверяется соотношение:
(4.7) Точность выполнения этого соотношения можно определить следующим образом: 1. Вычислить систематическую погрешность величины по формуле , (4.8)
где − систематическая погрешность определения длины по линейке. 2. Погрешность косвенных повторных измерений величины вычислить по формуле
. (4.9)
3. Случайные погрешности величин и рассчитать по методике расчёта погрешностей прямых измерений, задавая доверительную вероятность и коэффициент Стьюдента. 4. Результаты расчётов проверить сравнением пар экспериментальных данных с учётом рассчитанных погрешностей. Задание 3. Изучение зависимости периода малых колебаний от массы маятника. Исследуется зависимость периода колебаний от массы маятника. Для этого изменяется масса маятника и остается неизменной его длина. Определяется период колебаний, и результаты опытов заносятся в таблицу. Обработка результатов и расчёт погрешностей 1. Обработку результатов таблицы провести по п. 1 задания 1. 2. Сравнить периоды колебаний для различных масс груза и показать независимость периода от массы. При этом должно выполняться равенство
. (4.10)
Задание 4. Измерение ускорения свободного падения. Используются результаты, полученные в задании 1, 2 или 3. Обработка результатов и расчёт погрешностей. 1. Ускорение свободного падения рассчитать по зависимости, следующей из (4.3): , (4.11) где время выбирают из таблиц. 2. Погрешность случайных косвенных измерений величины g рассчитать по формуле , (4.12)
где величины , взяты по данным таблиц. 3. Погрешность приборных косвенных измерений величины g рассчитать по формуле . (4.13) 4. Полученную погрешность вычислить по формуле
. (4.14)
5. Результаты представить в виде: . Задание 5. Изучение больших колебаний математического маятника. При фиксированной массе груза и длине маятника измерить зависимость периода колебаний от угла отклонения маятника в пределах до 30− 35 градусов через пять градусов. Для каждого отклонения маятника измерения провести несколько раз и заполнить таблицу.
Обработка результатов и расчёт погрешностей. 1. Погрешности периода колебаний определить по методике расчёта погрешностей прямых многократных измерений, задавая доверительную вероятность р0 и коэффициент Стьюдента. 2. Построить зависимость нормированного теоретическим значением (4.3) периода колебаний маятника от угла отклонения , указав на графике нормированные доверительные интервалы по вертикальной оси координат. При этом в качестве по горизонтальной оси выбирается систематическая погрешность, равная половине деления шкалы, по которой измеряется первоначальное отклонение маятника. 3. На том же графике для данной длины маятника по формуле (4.5) построить нормированную теоретическую зависимость периода колебаний от угла первоначального отклонения маятника. 4. На том же графике для данной длины маятника по формуле (4.6) построить приближённую нормированную теоретическую зависимость периода колебаний от угла первоначального отклонения маятника. 5. Сравнить графики и найти величину отклонения, при которой выполняется приближение малых колебаний. Сравнить её с величиной , определённой в задании 1. Лабораторная работа 5 УПРУГИЙ УДАР Цель работы: исследование удара, изучение законов сохранения импульса и механической энергии при ударе. Основные теоретические положения Удар – совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил, например, при взаимодействии с другим движущимся относительно него телом, связанных со значительным изменением его скорости за очень короткий промежуток времени. Абсолютно неупругим называют такой удар, после которого скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми. Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает – кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса и имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней.
Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. Пусть шары массами и движутся до соударения со скоростями и , а после соударения со скоростями и (рис. 5.1). Согласно закону сохранения импульса . Выберем ось x в направлении движения шаров, тогда в проекции на эту ось закон сохранения импульса принимает вид . (5.1)
На основании закона сохранения энергии имеем
. (5.2)
Сгруппировав слагаемые с одинаковыми индексами, перепишем эти равенства в виде , (5.3) . (5.4)
Поделив (5.4) на (5.3), получим
(5.5) или . (5.6)
Таким образом, при абсолютно упругом ударе относительная скорость шаров остается неизменной величиной.
Решая совместно уравнения (5.5) и (5.3), получим
, (5.7) . (5.8) Рассмотрим два частных случая. 1. Сумма импульсов обоих шаров до ударов равна нулю, то есть
, (5.9)
тогда , , отсюда, применяя (5.9), находим: , , то есть скорости обоих шаров при ударе только изменяют свой знак. 2. Один шар до удара покоится . Тогда , . После удара второй шар двинется в ту же сторону, куда двигался первый до удара. Скорость и поведение первого шара зависит от соотношения масс шаров. а) Если , то первый шар продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью. Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого до удара. б) Если , то направление движения первого шара при ударе изменяется – шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту сторону, в которую двигался первый до удара, но с меньшей скоростью. в) Массы шаров одинаковы , тогда , , то есть шары при ударе обмениваются скоростями. В случае абсолютно неупругого удара:
, (5.10)
где – одинаковая для обоих шаров скорость после удара. Из (5.10) следует, что . (5.11) В частном случае, когда массы шаров равны, .
В случае нецентрального удара можно разложить скорости шаров на составляющие и в направлении линии центров и и в перпендикулярном направлении, а затем написать два уравнения, выражающие закон сохранения импульса для соответствующих составляющих:
, (5.12) . (5.13)
Так как , то закон сохранения энергии после сокращения на множитель ½ можно написать в виде . (5.14) Для четырех неизвестных компонент скорости , , и получили только три уравнения. Но, поскольку мы сделали предположение, что энергия при ударе сохраняется, мы должны считать, что силы трения отсутствуют, то есть шары абсолютно гладкие. Из этого следует, что при ударе не могут измениться тангенциальные составляющие скоростей, так как для этого нужны тангенциальные силы, которые между абсолютно гладкими шарами возникнуть не могут. Поэтому вместо (5.13) можно записать .
Соответствующие слагаемые в (5.14) сократятся, и для нормальных составляющих мы получим два уравнения:
. (5.15) Эти уравнения совершенно аналогичны тем, которые были получены для центрального удара. Таким образом, при нецентральном абсолютно упругом ударе гладких шаров нормальные составляющие скоростей ведут себя так же, как при центральном ударе; тангенциальные же составляющие не изменяются.
Неупругий удар сопровождается остаточной деформацией. Если пренебречь всякого рода сопротивлениями, закон сохранения энергии для удара двух одинаковых шаров запишется так , (5.16) где – энергия остаточной деформации одного шара, относящаяся к одному соударению. Экспериментальная установка и методика измерений Схема лабораторной установки показана на рис. 5.3. К штативу 3 на бифилярных подвесах 4 и 5 прикреплены два шара 1 и 2. Бифилярный подвес используется для исключения вращения шаров. Шарики подвешены так, что их центры находятся на одном уровне, а сами шарики соприкасаются. На столе под шариками в плоскости их колебания размещена линейка 6 (рис. 5.3).
. (5.17) По закону сохранения механической энергии (рис. 5.3) , (5.18)
При достаточно малых отклонениях (≤ 5°) . Тогда с учетом приближенного равенства , где x1 – горизонтальное смещение шара, можно записать . (5.19) Из соотношений (5.18) и (5.19) получаем . (5.20) После удара оба шарика отклонятся от положения равновесия на расстояния и и приобретут скорости u1 и u2: , . (5.21) Подставляя эти соотношения в закон сохранения импульса (5.17), после несложных преобразований получаем (5.22)
Задание 1. Проверка соотношения (5.22). Экспериментально проводится в следующей последовательности: большой шарик отклоняется из положения равновесия на фиксированную величину x1, и после соударения по шкалам визуально определяются отклонения шаров и . Опыт повторяют 5–7 раз. Если в эксперименте отклоняется шарик меньшей массы, то при ударе о шар большей массы он отскакивает в противоположную сторону. В этом случае , , .
После подстановки в закон сохранения импульса получим . (5.23)
Задание 2.Проверка соотношения (5.23). Эксперимент проводят точно так же, как и в предыдущем случае.
Задание 3.Реальные тела являются промежуточными между телами абсолютно упругими и абсолютно неупругими, поэтому при соударении реальных тел всегда имеют место и упругие, и остаточные деформации. Коэффициент восстановления скорости определяется как отношение относительной скорости шаров после удара к относительной скорости шаров до удара: . (5.24) В случае первоначального отклонения большего шара формула (5.24) с учетом (5.20) и (5.21) преобразуется к виду . (5.25) Для абсолютно упругого удара =1. При столкновении реальных шаров <1. При ударе стальных шаров = 0,56, для шаров из слоновой кости = 0,89, для свинцовых шаров близко к нулю. В случае первоначального отклонения меньшего шара формула (5.25) с учетом (5.21) и (5.22) преобразуется к виду . (5.26) Кроме коэффициента восстановления скорости соударение тел характеризуется коэффициентом восстановления энергии, равным отношению кинетической энергии тел после удара к их кинетической энергии до удара: . (5.27)
Учитывая, что скорость второго шара до удара = 0 и подставляя для скоростей выражения (5.20) и (5.21), находим рабочую формулу для коэффициента восстановления энергии: . (5.28)
Обработка результатов эксперимента 1. Найдите средние значения величины отскока шаров после удара и по формулам (5.22) и (5.23), соответственно. 2. Используя средние значения и по формулам (5.25),(5.26) и (5.28) определите коэффициенты восстановления скорости и энергии . 3. По методике расчета случайных погрешностей прямых измерений найдите погрешности измерения отклонений и . 4. Найдите погрешность определения по методике вычисления погрешностей косвенных измерений: а) для случая отклонения большего шара ; (5.29) б) для случая отклонения меньшего шара . (5.30) 5. Сравните полученное из эксперимента значение x1 с учетом его приборной погрешности, то есть со значением x1, рассчитанным по формуле (5.22) или (5.23). Приборную погрешность определите по цене деления линейки. 6. Погрешность определения коэффициента восстановления скорости определяется по формуле . (5.31) 7. Погрешность определения коэффициента восстановления энергии определяется по формуле . (5.32)
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|