 |
|
СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ
ЭКСПЕРИМЕНТА
ИЗМЕРЕНИЯ И ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
В каждой лабораторной работе по курсу "Физика" студент измеряет одну или несколько величин. Измерение называется прямым, если измеряемая величина непосредственно сравнивается с эталоном. Такое сравнение, как правило, происходит с помощью измерительного прибора. Например, длина тела измеряется с помощью микрометра или штангенциркуля, сила тока измеряется амперметром и т.д. Результат косвенного измерения является известной функцией величин, получаемых с помощью прямых измерений. В процессе прямого измерения получают ряд наблюдений х1, х2, … , хn измеряемой величины х. Результаты отдельных наблюдений содержат погрешности измерений и нуждаются в дополнительной обработке. Виды погрешностей: случайные, систематические, промахи.
СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
При наличии случайных погрешностей результат отдельного наблюдения хk измеряемой величины х является случайной величиной. В этом случае результаты наблюдений х1, х2, … , хn одной и той же величины х различны. В качестве результата измерения принимается среднее арифметическое значение результатов наблюдений:
. (1.1)
Предел результата измерения при n®¥ называется математическим ожиданием m:
. (1.2)
Случайную величину х, являющуюся результатом отдельного наблюдения, можно задать с помощью функции распределения f(х) (функции плотности вероятности):
или 
, (1.3)
где dP - вероятность попадания случайной величины в интервал
(х, х+dx) шириной dx.
Если случайная величина зависит от большого количества неконтролируемых изменяющихся причин, то она подчиняется нормальному распределению или распределению Гаусса. Функция распределения Гаусса для случайной величины х с математическим ожиданием m описывается формулой:
, (1.4)
где 
- дисперсия распределения. Величина 
называется стандартным или среднеквадратичным отклонением. График функции распределения Гаусса показан на рис.1.
Математическое ожидание m определяет положение оси симметрии кривой распределения, а величина s характеризует разброс х относительно m.
С учетом формулы (1.3) вероятность Р попадания результата наблюдения х в интервал (х1, х2) равна
Рассмотрим интервал, в центре которого находится математическое ожидание m, а полуширина равна
, (1.5)
где 
- некоторое число. Вероятность Р наблюдения случайной величины х, подчиняющейся нормальному распределению, в таком интервале определяется формулой:
(1.6)
Вычисление интеграла в формуле (1.6) показывает, что при
kP = 1,0 вероятность Р = 0,68, т.е. 68% результатов наблюдений лежат внутри интервала ( 
). Соответственно, при kP = 2,0 получим Р = 0,95, а при kP = 3,0 вероятность Р = 0,997.
Пусть наличие случайных погрешностей приводит к тому, что результат наблюдения х измеряемой величины подчиняется нормальному распределению. Параметры m и s этого распределения экспериментатор не знает. В процессе измерения получают n результатов наблюдений: х1, х2, … , хn, т.е. получают некоторую выборку значений х из генеральной совокупности допустимых значений. Определяя результат измерения 
по формуле (1.1), находят выборочную оценку величины m. Выборочную оценку дисперсии нормального распределения результатов наблюдений получают по формуле
, (1.7)
где S(х) - выборочная оценка стандартного отклонения результата наблюдения; n - число наблюдений.
Если результат отдельного наблюдения х является случайной величиной, подчиняющейся нормальному распределению с дисперсией D(х), то результат измерения 
, определяемый по формуле (1.1), также подчиняется нормальному распределению с дисперсией 
. Соответственно, выборочная оценка стандартного отклонения результата измерения равна
. (1.8)
Теоретически показано, что для каждой вероятности Р (меры доверия) можно построить такой доверительный интервал ( 
), что математическое ожидание m случайной величины х окажется внутри этого интервала с вероятностью Р. Полуширина такого доверительного интервала определяется формулой:
, (1.9)
где S( ) находим по формуле (1.8), а 
- коэффициент Стьюдента, величина которого зависит от вероятности Р и числа степеней свободы n (см. таблицу Приложения). Число степеней свободы n связано с числом наблюдений n формулой: 
. Можно показать, что в формуле (1.5) коэффициент
. (1.10)
При наличии только случайных погрешностей запись результата измерения: 
.