Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

где a - коэффициент поверхностного натяжения; q - краевой угол (q = 0 при полном смачивании поверхности жидкостью; q = p при полном несмачивании); r - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения; R - радиус канала капиллярной трубки.

Примеры решения задач

Пример 1. В цилиндр длиной l₀ = 2 м, заполненный воздухом при нормальном давлении р =1×10⁵Па, начали медленно вдвигать поршень площадью S = 100 см². Определить давление p₁ в цилиндре и силу F, которая будет действовать на поршень, если поршень остановится на расстоянии l₁= 2 см от дна цилиндра. (Вес поршня не учитывать).

Дано: l₀ =2 м р₀ = 1×10⁵ Па S = 100 см² l₁= 2см	В единицах СИ: S = 1×10^-2м² l₁= 2×10^-2м	Решение. 1. Если поршень вдвигать медленно, воздух практически не нагревается, и процесс можно считать изотермическим (T = const). Уравнение такого процесса имеет вид: p₀V₀= p₁V₁, где р₀ = 10⁵Па – начальное давление, V₀ ₌ l₀×S – начальный объем газа, р₁ – конечное давление, а V₁ = l₁× S – конечный объем газа. Из этого уравнения следует, что:
Найти: р₁, F

(28)

2. Силу, действующую на поршень, найдем из выражения для давления:

откуда .

Произведем вычисления:

Ответ. ; F = 1×10⁵ Н.

Пример 2. Под каким давлением находится кислород ( кг/моль) в баллоне объемом V = 10 л и чему равна суммарная кинетическая энергия всех его молекул при условии, что концентрация и средняя квадратичная скорость молекул кислорода составляют, соответственно, и = 10³ м/с.

7 8

Дано: V = 10 л п = 2×10²⁵ м^-3 v_квñ = 10³ м/с N_А= 6,02 · 10²³ моль^-1 R = 8,31 Дж/(моль×К)	В единицах СИ: V = 1×10^-2 м³	Решение. 1. Для нахождения давления газа p воспользуемся уравнением Клапейрона–Менделеева из которого следует . (29) Массу газа можно выразить через известные величины следующим образом:
Найти: p, Е_.

m = N×m₀где N = n×V число молекул газа; n - концентрация газа; V - объем газ; - масса одной молекулы кислорода, m - молярная масса газа; N_A - число Авогадро.

Таким образом:

, . (30)

Температуру газа можно определить исходя из выражения для средней квадратичной скорости молекул .

Находим:

(31)

Подставляя полученные выражения (30) и (31) в (29), окончательно получим:

(32)

2. Суммарная кинетическая энергия всех молекул газа есть ни что иное, как внутренняя энергия газа

(33)

где i = 5 – число степеней свободы для двухатомных молекул газа.

Подставив в (33) полученное выше выражение (32) для давления p, получим

(34)

Произведем вычисления по формулам (4) и (6):

;

Ответ. Газ находится по давлением p = 3,54×10⁵ Па, а его суммарная кинетическая энергия составляет E_к = 8,86×10³ Дж.

Пример 3. Двухатомный газ под давлением р = 150кПа и при температуре t°= 27°С занимает объем V = 100 л. Определить теплоемкость этого газа при постоянном объеме с_V и при постоянном давлении с_р.

Дано: i = 5 р = 150 кПа t°= 27°С V = 100 л	В единицах СИ р = 1,5 · 10⁵ Па Т =300 К V = 0,1 м³	Решение. Теплоемкости произвольной массы газа m при постоянном объеме с_Vи при постоянном давлении с_р могут быть выражены через молярные теплоемкости, соответственно, при постоянном объеме и при постоянном давлении следующим образом:
Найти: c_V, с_р

(35)

, (36)

где m - масса газа, μ – молярная масса газа, i = 5 – число степеней свободы для молекул двухатомного газа, R = 8,31 Дж/(моль×К) - универсальная газовая постоянная.

Из уравн

9 10

ения Клапейрона-Менделеева

(37)

находим, что Следовательно, уравнения (35) и (36) принимают вид:

(38)

(39)

Произведем вычисления по формулам (38) и (39):

Пример 4. В цилиндре объемом V = 6л под поршнем, занимающим среднее положение (рис. 2.1), находится водород Н₂ при атмосферном давлении (р₀= 10⁵Па). При нагревании газ расширяется при постоянном давлении, в результате чего поршень поднимается вверх до упора, после чего давление газа постепенно возрастает в два раза. Построить pV- и VT-диаграммы наблюдаемых изопроцессов и определить теплоту Q, переданную газу. Трением поршня о стенки сосуда, а также весом поршня и его толщиной пренебречь.

Дано: V₁= 3 л V₂= V = 6 л p₁= р₀= 1×10⁵ Па m = 2×10³ кг/моль р₂= 2р₁	В единицах СИ: V₁= 6×10^-3 м³ V₂= 3×10^-3 м³	Решение. На первом этапе газ расширяется от V₁до V₂ при постоянном давлении р₀, т. е. протекает изобарический процесс, а затем газ нагревается при постоянном объеме, то есть идет изохорический процесс. Представим эти процессы на pV-диаграмме и VT-диаграмме.
Найти: Q

1. На pV-диаграмме (рис.2.2) показано, что переход из состояния 1 в состояние 2 происходит при постоянном давлении р₀(изобарический процесс), а переход из состояния 2 в состояние 3 – при постоянном объеме V₂ (изохорический процесс). На VT-диаграмме (рис. 2.3) эти же переходы представлены зависимостями V/T = const (1®2) и V = const (2®3). T₁, T₂ и T₃ - температуры газа в состояниях 1, 2 и 3, соответственно.

2. Суммарное количество теплоты, Q_p переданное газу, найдем как сумму количеств теплоты, переданных при изобарическом и изохорическом Q_V процессах.

(40)

где i = 5 – число степеней свободы для двухатомной молекулы Н₂; т – масса газа; μ - молярная масса водорода Н_2; R = 8,31 Дж/(моль×К)– газовая постоянная.

p p₁3 p₀ 1 2 V₁ V₂ V	V 2 3 V₂ V₁ T₁T₂T₃T
Рис. 2.2	Рис. 2.3

Воспользовавшись уравнением Клапейрона-Менделеева полученное выражение (40) для Q можно представить в виде:

(41)

Произведем вычисления по формуле (41):

Дж

Ответ. Суммарное количество теплоты, переданное газу, Q = 2,55 кДж.

Пример 5. Трехатомный (i = 6) газ совершает цикл Карно (см. рис. 2.4). Объем газа в точке В составляет 6 м³. Определить объем газа в точке С, если КПД цикла равен 22%.

13 14

Дано: i=6 V_В = 6 м³ = 22%	в единицах СИ = 0,22	p A B D C V Рис.2.4
Найти: V_С

11 12

Решение: Так как переход из точки В в точку С газ совершает адиабатически, то воспользуемся уравнением для этого процесса (уравнение Пуассона) в виде:

, (1)

где Т₁ – температура газа в точке В, Т₂ – температура

газа в точке С, V₁= V_В – объем газа в точке В,

V₂= V_С – объем газа в точке С, - показатель адиабаты.

Так как для трехатомного газа, представим уравнение (1) в виде:

Þ (2)

Отношение находим из формулы для КПД цикла Карно:

Þ . (3)

Подставляя полученное выражение (3) в (2), окончательно находим:

Þ (4)

Произведем вычисления по формуле (4):

м³

Ответ: Объем газа в точке С составляет 12,6 м³.

Пример 6. Найти изменение энтропии при охлаждении азота массой m = 10 г от 80 ⁰С до 0 ⁰С

а) при постоянном объеме

б) при постоянном давлении.

Дано: N₂ m = 28×10^-3 кг/моль m = 10 г = 80⁰С = 0⁰С R =8,31 Дж/(моль×К) а) V = const б) p = const	в единицах СИ m = 1×10^-2 кг Т₁= 353 К Т₂= 273 К	Решение: Изменение энтропии будем искать по формуле: , (1) где dQ – малое изменение теплоты при температуре Т. При изохорном процессе (2)
Найти: S_V,, S_p

При изобарном процессе

(3)

Подставляя полученные соотношения (2) и (3) в выражение (1) для изменения энтропии, получим:

а) для изохорного процесса

(4)

б) для изобарного процесса

(5)

15 16

Произведем вычисления по формулам (4) и (5):

Дж/К,

Дж/К.

Знак (-) означает, что энтропия газа при уменьшении его температуры уменьшилась.

Ответ: Энтропия газа уменьшится при уменьшении температуры на 1,93 Дж/К при изохорном процессе и на 2,7 Дж/К при изобарном процессе.

Пример 7. Наружная поверхность неоштукатуренной кирпичной стены толщиной х =50 см (два кирпича) имеет температуру -10 ⁰С, внутренняя +20 ⁰С. За сутки через 1 м² стены за счет теплопроводности теряется количество тепла Q = 3,6 10⁶ Дж. Определить коэффициент теплопроводности кирпичной кладки.

Дано: х = 50 см ^оС. ^оС. S = 1 м² t = 24ч Q = 3,6 10⁶Дж	в единицах СИ х = 0,5 м Т₁= 263К Т₂= 293 К t = 8,64×10⁴ с	Решение: Считая стену бесконечной, температуры Т₁ и Т₂ постоянными, процесс теплопроводности установившимся, уравнение теплопроводности можно записать в виде: Q = æ× , (1) где Q – количество теплоты прошедшей через стену толщиной х при разности температур Т= Т₂- Т₁ через площадь S за время t, æ – коэффициент теплопроводности.
Найти: æ

Из уравнения (1) находим коэффициент теплопроводности:

æ =

Произведем вычисления:

æ = .

Ответ: Коэффициент теплопроводности æ = .

Пример 8. Горизонтально расположенный капилляр с внутренним радиусом

R =1мм и длиной l = 10 см полностью заполнен водой. Когда капилляр поставили вертикально, опустив нижний конец в воду на пренебрежимо малую глубину, часть воды вытекла. Определить массу вытекшей воды. Плотность воды = 1×10³ кг/м³, коэффициент поверхностного натяжения = 72 10^-3 Н/м.

Дано: R = 1 мм l = 10 см r = 1×10³ кг/м³ = 72 10^-3 Н/м	в единицах СИ R = 1×10^-3 м l = 1×10^-1 м	Решение: Масса воды, полностью заполняющей капилляр, равна , где r - плотность воды, l – длина капилляра, R – радиус капилляра. Когда капилляр поставлен вертикально, причем нижний конец находится в воде, высота уровня воды будет
Найти: т		, (1)