Математическое дополнение. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
1. Вывод распределения Гаусса. Возьмём в качестве исходного, биномиальное распределение (1) Прологарифмируем + (2) Значение m= ,при котором P достигает максимума найдём из условия: =0 или = 0 = (3) При этом для каждого факториала воспользуемся приближением Дифференцируя (2): C учётом, что p+q=1, найдем значение m= : Для получения компактной записи функции распределения, разложим lnP в окрестности в ряд Тейлора. Свойства этого разложения таковы, что члены ряда быстро убывают и можно ограничиться первыми членами разложения. ](m- (4) Так как первая производная от lnP равна нулю при m= (3), то ограничим ряд только вторым членом: Вторую производную легко вычислить из (3): = В точке Вторая производная Разложение (4) примет вид: (5) Величина (постоянная) : Последний интеграл сводится к табличному : Полагая , и , получим распределение Гаусса: .
2. Статистический смысл энтропии (полный вывод). Пусть изолированная термодинамическая система находится в состоянии с энергией . Это состояние равновероятно реализуется способами. Разобьём условно систему на две подсистемы и , таких, что гамильтонианы систем связаны соотношением: Положим далее, что внешние силовые поля отсутствуют и элементы подсистем не взаимодействуют между собой, но могут обмениваться энергией. Для изолированной системы выполняется закон сохранения энергии: сумма энергий подсистем равна энергии сложной системы: . Пусть число доступных состояний и подсистем А и А1 соответствует случаям, когда их энергии лежат , соответственно, в интервалах Е, Е+ δЕ и Е1, Е1+δЕ1. Найдём вероятность того, что из общего числа состояний системы А0 , часть соответствует состоянию подсистемы А с энергией Е. По определению вероятности: (11) то есть вероятность пропорциональна числу доступных состояний. В тоже время каждое из состояний подсистемы А с энергией Е можно комбинировать с любым доступным состоянием подсистемы с энергией . Тогда полное число доступных состояний системы , в которых энергия подсистемы равна , будет выражаться произведением: (12) ( так как произведение вероятностей пропорционально произведению числа доступных состояний). С учётом (12) соотношение (11) примет вид (13) Воспользуемся каноническим распределением Гиббса и связью вероятности с плотностью распределения вероятности (14) где - плотность распределения вероятности. (15) Интегрируя (14), с учётом (15) и получим искомую вероятность: (16) Здесь D - некоторый параметр, который переходит в постоянную величину в равновесном состоянии системы . Найдём условия перехода системы и её подсистем в равновесное состояние. Равновесное состояние системы характеризуется максимальной вероятностью или максимальным числом доступных состояний. Для нахождения условий равновесного перехода исследуем на максимум: Заметим, что производная от логарифма вероятности по энергии равна нулю в тех же точках, что и производная от вероятности. Так как D не зависит от энергии, то (17) Равенство (17) показывает, что равновесное состояние системы наступит тогда и только тогда, когда параметры Т и подсистем А и станут равными соответствующему параметру системы . Этот параметр - абсолютная температура. Поскольку абсолютная температура всегда только положительная величина, то в процессе перехода в равновесное состояние должно выполняется условие . Введём некоторую функцию, которая могла бы указывать направление передачи энергии в процессе перехода системы в равновесное состояние. Прологарифмируем (13) и приравняем нулю производную по энергии. (18) При выводе (18) учтено, что Выделим из соотношений (18) равенство: Преобразуем последнее выражение к виду: (19) Для анализируемой термодинамической системы левая часть равна нулю в тех же точках, что и производная от вероятности. Так как D не зависит от энергии, то (17) Равенство (17) показывает, что равновесное состояние системы наступит тогда и только тогда, когда параметры Т и подсистем А и станут равными соответствующему параметру системы . Этот параметр - абсолютная температура. Поскольку абсолютная температура всегда только положительная величина, то в процессе перехода в равновесное состояние должно выполняется условие . Введём некоторую функцию, которая могла бы указывать направление передачи энергии в процессе перехода системы в равновесное состояние. Прологарифмируем (13) и приравняем нулю производную по энергии. (18) При выводе (18) учтено, что Выделим из соотношений (18) равенство: . Преобразуем последнее выражение к виду: (19) Для анализируемой термодинамической системы левая часть представляет собой разность приведённых теплот, которыми обмениваются подсистемы А и . Правая часть должна быть равна по определениям классической молекулярной физики разности дифференциалов энтропий этих подсистем. Следовательно: Это и есть статистическое определение энтропии термодинамической системы, введённое М.Планком. Теперь (19) можно переписать в виде: Полагая, что по прежнему Т1 >Т, в правой части тогда dS > dS1 , то есть подсистема А получает тепло, а подсистема А1 его отдаёт. В изолированной системе поток тепловой энергии направлен от подсистемы с большей температурой к подсистеме с более низкой температурой. Исходя из аддитивности энтропии, можно утверждать, что энтропия изолированной термодинамической системы не убывает. (20) Неравенство (20) представляет собой второе начало термодинамики в энтропийной формулировке. Программа курса физики.. КНиИТ, 1 курс ,2 семестр. МЕХАНИКА Раздел 1. Введение. Математический аппарат физики. Векторы и операции с ними. Раздел 2. Кинематика. Материальная точка. Системы отсчета. Траектория. Перемещение и путь. Скорость и ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорения. Классификация движения по ускорению. Кинематика прямолинейного и вращательного движений точки. Кинематика колебательного и волнового движений. Примеры, практические задачи. Движение твёрдого тела. Степени свободы. Поступательное и вращательное движение твёрдого тела. Теорема Эйлера о произвольном движение твёрдого тела. Раздел 3. Законы динамики. Основная задача динамики. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Взаимодействие тел. Сила. Масса и импульс тела. Второй закон Ньютона, и его особенности. Третий закон Ньютона и границы его применимости. Твёрдое тело. Момент импульса, момент силы, момент инерции. Уравнение моментов - дифференциальное уравнение движения твёрдого тела. Уравнения динамики колебательного и волнового движений (волновое уравнение). Примеры, практические задачи. Раздел 4. Законы сохранения. Закон сохранения импульса и его особенности. Закон сохранения момента импульса. Примеры: распад нейтрона, движение планет солнечной системы, гироскоп. Работа сил. Потенциальная и кинетическая энергия. Работа и энергия вращения Закон сохранения механической энергии. Примеры, практические задачи. Раздел 5. Гравитационное поле. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. «Чёрные дыры» Движение в поле тяготения Земли. Космические скорости. Раздел 6. Движение в неинерциальных системах отсчёта. Силы инерции в общем случае. Поступательные и центробежные силы инерции. Сила Кориолиса. Проявления сил инерции в движениях на Земле. Раздел 7. Элементы теории относительности. Примеры
МОЛЕКУЛЯРНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. Раздел 1. Введение. Предмет и методы молекулярной физики и термодинамики. Развитие представлений о строении вещества. Молекулярно-тепловое движение. Межмолекулярные силы. Равновесное состояние термодинамической системы. Температура. Раздел 2. Динамическая теория идеального газа. 2.1. Давление и средняя энергия молекул газа. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа. Изопроцессы. 2.2. Столкновения молекул. Средняя длина свободного пробега. Явления переноса в газах: диффузия, внутреннее трение, теплопроводность. Раздел 3. Основы статистического описания термодинамических систем. . 3.1.Основные понятия. Микро- и макропараметры состояния. Равновесные состояние системы. Понятие фазового пространства и его свойства.. 3.2. Элементы теории вероятностей. Случайные величины и их описание. Функция распределения. Средние значения, математическое ожидание, дисперсия и флуктуации. Биноминальное распределение. Распределение в системах с большим количеством элементов Распределение Пуассона и Гаусса. 3.3. Статистические распределения для идеального газа. Координата и скорость молекулы как случайные величины. Фазовое пространство координат и импульсов, обобщённые координаты. Функция Гамильтона. Каноническое распределение Гиббса. Распределение молекул по скоростям Максвелла. Закон распределения энергии по степеням свободы. Термодинамическая система в поле внешних сил. Идеальный газ в гравитационном поле, распределение Максвелла- Больцмана . Раздел 4..Элементы статистической термодинамики 4.1. Основные положения статистической термодинамики. Условия равновесия.. Начала термодинамики. 4.2. Термодинамические процессы. Превращение тепла в работу. Циклические процессы. Энтропия и энергия. «Энтропийная» формулировка второго начала термодинамики. Энтропия и вероятность, статистический смысл энтропии. Парадокс Максвелла. Информационный смысл энтропии ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1, 2, . - М.: Наука, 1980. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1,2. М., 1974-1980. 3. Стратонович Р.Л, Поляков М.С.. Элементы молекулярной физики, термодинамики и статистической физики. Изд. МГУ,1981. 4. Ф. Рейф. Статистическая физика. ВКФ. Изд. «Наука», М.,1977.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|