Главная | Обратная связь

Связь параметров распределения максвелла с геОметрией доски гальтона

Для вывода соотношения связывающего среднюю скорость движения частиц в горизонтальном направлении V_x и средним расстоянием между гвоздями заметим, что частицы движутся под действием силы тяжести. Это означает, что кинетическая энергия частиц определяется работой силы тяжести над частицами на расстоянии средней длины свободного пробега этих частиц l:

(П1).

Предполагая, что рассеяние частиц на гвоздях изотропно, получаем:

,

откуда для средних скоростей в горизонтальном и вертикальном направлениях:

(П2).

Среднюю длину свободного пробега частиц l определим как отношение расстояния L, пройденного частицей вдоль доски, к числу столкновений с гвоздями на этом расстоянии N:

l=L/N (П3).

Число столкновений найдем следующим образом. Если радиус частицы a, радиус гвоздя r, а число гвоздей на единицу площади доски n, то частица в своем движении столкнется со всеми теми гвоздями, которые находятся от траектории частицы на расстояниях не превышающих r+a (см. Рис. П1). Таких гвоздей на пути длиной L будет

N=2(a+r)×n×L.

Тем самым,

(П4).

Если гвозди образуют квадратную решетку (расположены в углах квадратной сетки со стороной R), то, очевидно, расстояние между гвоздями R и их число на единицу площади n связаны соотношением:

nR²=1.

Если решетка не квадратная, то точное равенство уже не будет иметь места, но порядок величины nR² останется прежним. Поэтому:

(П5).

Тогда (П2) дает:

(П6).

Итак, средняя скорость частиц пропорциональна расстоянию между гвоздями.

Рассмотрим теперь как высота доски h должна быть связана с расстоянием между гвоздями R.

В нашем опыте измеряется не скорость, а смещение частицы в горизонтальном направлении x=v_xt, где t - среднее время движения частицы по доске. Для того чтобы можно было сравнивать скорости движения частиц по разным доскам необходимо, чтобы время движения t частицы по разным доскам было одинаковым. Но t=h/áv_yñ, и поскольку áv_yñ~R, то

t~h/R.

Как видим, для постоянства t необходимо при изменении расстояния между гвоздями пропорционально изменять и высоту доски. В нашем опыте имеются две сменные доски, у которых расстояния между гвоздями отличаются вдвое, соответственно и высоты этих досок отличаются вдвое.