Здавалка
Главная | Обратная связь

Падение шарика в вязкой среде



На шарик, падающий в вязкой среде действуют три силы: сила тяжести P=mg, архимедова сила Fарх=rжVg и сила сопротивления Fсопр = 6phRv, где V‑объем шарика, а r и rж - соответственно, плотность материала шарика и среды. Написав массу шарика в выражении для силы тяжести как m=rV, запишем уравнение движения шарика:

(П1).

Из уравнения (П1) видно, что в процессе падения шарика его ускорение dv/dt уменьшается, поскольку скорость в процессе падения монотонно возрастает. Очевидно, ускорение шарика будет уменьшаться до нуля и, начиная с этого момента, движение шарика станет равномерным. Иначе говоря, скорость шарика не может быть больше некоторого значения, которое мы назовем установившейся скоростью и обозначим её через v0.

Значение v0 найдем из (П1) приравняв нулю ускорение dv/dt. Тогда получим значение установившейся скорости:

(П2).

Найдем теперь закон движения шарика. Преобразуем уравнение (П1), введя в него значение установившейся скорости v0, для чего поделим обе части ура­внения на 6phR:

(П3).

Здесь

t=m/6phR.

Очевидно, t имеет размерность времени.

Поделив обе части уравнения на t(v-v0) и проинтегрировав по dt, получим:

Или, после потенцирования:

(П4).

Здесь А – постоянная величина, значение которой найдем из начальных условий, состо­ящих в том, что при t=0 скорость шарика v=0. Тогда из (П4) следует, что А= v0. Окончательно имеем:

(П5).

График зависимости скорости от времени показан на рис. П2. С течением времени скорость шарика, возрастая, асимптотически приближается к значению v0. Движение шарика оказывается сложным: в начале движения, пока táát шарик движется равноускоренно (ско­рость его растет пропорционально времени, что показано на рис. П2 пунктирной наклонной касательной к графику), далее ускорение уменьшается, что видно по уменьшению наклона графика, и, в конце концов, при tññt движение шарика становится равномерным.

Из приведенного анализа ясен смысл времени t. Эта величина характеризует время достижения шариком предельной скорости. За время в 2-3 раза большее t скорость шарика практически достигает ее предельного значения.

Поскольку t=m/6phR, а масса шарика m=rV=4prR3/3, то

t=0,22×r×R2/h.

Полученный результат означает, что время достижения телом предельной скорости тем меньше, чем меньше его размеры. Поскольку v0 ~ tg, то и предельная скорость шарика тем меньше, чем меньше его размеры.

Рассмотрим соответствующие численные примеры. Пусть в воздухе падает капля воды. Плотность воздуха приблизительно в 103 раз меньше плотности воды, а вязкость воздуха составляет h~1,8×10-4 Пуаз. Тогда для капель радиусом R1=0,5 мм и R2=0,05 мм находим соответственно:

t1~0,25 с, v01~2,5 м/с

t~2,5×10-3 с, v02~2,5 см/с.

Полученные результаты объясняют, в частности, почему водяные капли из которых состоят облака, не падают вниз. Действительно, капли достаточно малого размера будут уноситься вверх восходящими воздушными потоками, даже если скорости таких потоков весьма малы. Как мы видели, для капель диаметром в 0,1 мм достаточно скорости потока всего в 2,5 см/с. Для капель диаметром в 1 мм нужны скорости порядка 2,5 м/с. Если учесть, что в грозовых облаках скорости воздушных потоков достигают многих десятков метров в секунду, то становится понятным, почему вершины таких облаков поднимаются до высот в 10 и более километров. Даже зимой при относительно слабых вертикальных потоках в атмосфере маленькие кристаллики льда (снежинки) могут удерживаться в этих потоках и не опускаться вниз.

Полученные результаты верны лишь для тел достаточно малых размеров, движущихся с такими скоростями, что число Рейнольдса Re=rvR/h мало. В противном случае, сила сопротивления будет расти пропорционально квадрату скорости и не будет зависеть от вязкости среды.








©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.