Порівняння двох виміряних значень
У багатьох експериментах вимірюють два значення, які, згідно теорії, мають бути рівні. Наприклад, закон збереження імпульсу стверджує, що повний імпульс ізольованої системи є величина постійна. Щоб перевірити це, ми могли б виконати серію експериментів з двома візками, які можуть стикатися при русі без тертя по лаві. Ми могли б виміряти повний імпульс двох візків перед зіткненням (р) і після зіткнення (р') і потім перевірити, чи виконується рівність р = р' в межах експериментальних похибок. Для однієї пари вимірів наші результати могли б мати вигляд: початковий імпульс р = 1,49 ± 0,04 кг ∙ м/с і кінцевий імпульс р' = 1,56 ± 0,06 кг ∙ м/с.
В цьому випадку інтервал, в якому, можливо, лежить р (від 1,45 до 1,53), перекривається з інтервалом, в якому, віз можна, лежить р' (від 1,50 до 1,62). Отже, цей вимір знаходиться у згоді із законом збереження імпульсу. Якби, з іншого боку, виявилось, що два вірогідні інтервали навіть не близькі до того, щоб перекриватися, той вимір не знаходився б у згоді із законом збереження імпульсу і ми повинні були б шукати помилки в наших вимірах або розрахунках, визначати можливі систематичні погрішності і перевіряти можливість того, що якісь зовнішні сили (такі, як сила тйжести або тертя) змінюють імпульс системи.
Припустимо, що ми повторюємо подібні пари вимірів кілька разів. Який кращий спосіб представити наші результати? По-перше, майже завжди найзручніше представити послідовність подібних вимірів у вигляді таблиці, а не як окремі результати. По-друге, наша похибка часто дуже мало змінюється від одного виміру до іншого. Наприклад, ми могли б прийняти, що похибка в усіх вимірах початкового імпульсу р є Δр ≈ 0,04 кг∙ м/с і що помилка кінцевого імпульсу р' є Δр' ≈ 0,06 кг∙ м/с . В цьому випадку хороший спосіб представити наші виміри був би такий, як показано в таблиці. 2.1. Для кожної пари вимірів вірогідний інтервал значень р перекривається (чи майже перекривається) з інтервалом значень р'. Якби це залишалося вірним для усіх вимірів, то ми могли б вважати, що наші результати узгоджуються із законом збереження імпульсу. Трохи розміркувавши, ми могли б представити наші результати у виді, який зробить наш висновок навіть ясніше. Наприклад,закон збереження імпульсу вимагає, щоб різниця р - р' дорівнювала нулю. Якби ми додали в нашу таблицю стовпець зі значеннями р - р', то в будь-якому місці цього стовпця стояли б величини, що не відрізняються від нуля. Єдина трудність тут полягає в тому, що ми повинні знати, як розрахувати похибку для різниці р - р'. Hо це можна легко зробити. Припустимо, що ми провели виміри і отримали (виміряне значення р) = рнайк ± Δр і (виміряне значення р') = р'найк± Δр'
Числа рнайк і р'найк – наші найкращі оцінки для р і р'. Отже, найкраща оцінка для різниці (р – р') є (рнайк – р'найк). Щоб знайти похибку (р – р'), ми повинні визначити найбільше і найменше імовірні значення величини (р – р'). Найбільше значення величини (р – р') вийшло б, якби величина р мала найбільше імовірне значення рнайк + Δр і в той же час р' мала найменше вірогідне значення р'найк– Δр'. Таким чином, найбільше вірогідне значення р -– р' є найбільше імовірне значення = ( рнайк– р'найк) + (Δр + Δр') (2.16)
Аналогічно найменше імовірне значення виходить, коли величина р мінімальна (рнайк – Δр ), а р' - максимальна (р'найк+ Δр'). Це дає
найменше імовірне значення = ( рнайк– р'найк) – (Δр + Δр') (2.17)
Зіставляючи (2.16) і (2.17), ми бачимо, що похибка в різниці (р - р') є сума (Δр + Δр') початкових погхибок. Наприклад, якщо р = 1,49 ±0,04 кг∙м/с і р' = 1,56 ±0,06 кг∙м/с то р - р' = – 0,07 ±0,1 кг∙м/с
Потім ми можемо додати зайвий стовпець для р - р' у таблиці. 2.1 і отримати таблицю. 2.2. Тепер можна з першого погляду визначити, чи знаходяться наші результати у згоді із законом збереження імпульсу, перевіряючи, чи узгоджуються з нулем числа в останньому стовпці ((т. е. чи менше вони або порівнянні з похибкою 0,1).
Наш вивід похибки в р – р', очевидно, застосуємо до різниці будь-яких двох виміряних чисел. Таким чином, ми встановили наступне загальне правило:
Похибка різниці ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|