Здавалка
Главная | Обратная связь

Похибки в сумах і різницях



Якщо декілька величин х, ..., w виміряни

з похибками Δх, ..., Δw і використовуються

Для обчислення

q = x + … + z – (u + … + w),

то похибка в розрахованій величині q є сума

всіх вихідних похибок(3.4)

 

Іншими словами, коли складають або віднімають будь-яке число виміряних величин, то похибки цих величин завжди складаються. Як і раніше, ми використовуємо знак ≈ щоб підкреслити, що незабаром ми поліпшимо це правило.

 

Приклад

Як простий приклад застосування правила (3.4) припустимо, що експериментатор змішує рідини з двох фляг, заздалегідь вимірявши окремо маси цих наповнених і потім порожніх фляг і отримавши в результаті

М1= маса першої фляги і її вмісту = 540 ± 10 г;

m1 =маса першої порожньої фляги = 72 ± 1 г;

М2 = маса другої фляги і її вмісту = 940 ± 20 г;

m2 = маса другої порожньої фляги = 97 ± 1 г.

 

Потім він розраховує повну масу рідини як

 

М = М1 – m1 + М2 – m2 = 540 – 72 + 940 – 97 г = 1311 г.

 

Відповідно до правила (3.4) похибка в його результаті є сума усіх чотирьох попохибок :

 

ΔМ = ΔМ1 + Δm1 + ΔМ2 + Δm2 = (10+ 1 + 20 + 1) г = 32 г.

 

Таким чином, його кінцевий результат (належним чином закруглений) має вигляд

 

повна маса рідини = 1310 ± 30 г.

 

Зверніть увагу, що істотно менші похибки в масах порожніх фляг вносять нехтовно малу добавку в кінцеву похибку. Це дуже важливий ефект, який ми обговоримо пізніше. З досвідом студент зможе навчитися заздалегідь виявляти ті похибки, які нехтує малі і тому можуть бути виключені з розгляду. Часто це може дуже істотно спростити розрахунок похибок.

 

Добутки і частки

У разд. 2.9 ми розглянули похибки в добутку q = ху двох виміряних величин. Ми знайшли, що за умови малих відносних похибок початкових величин відносна похибка в q = ху є сума відносних похибок в х і у. Замість того щоб повторно обговорити виведення цього результату, розглянемо зараз подібний же випадок частки q = х/у. Як ми побачимо, похибка в частці дається тим же самим правилом, що і для добутку, тобто відносна похибка в q = х/у дорівнює сумі відносних похибок в х і у.

Оскільки похибки в добутках і частках якнайкраще визначаються в термінах відносних похибок, то зручно для наступного ввести скорочені позначення. Нагадаємо, що якщо ми вимірюємо деяку величину х як

(виміряне значення х)= хнайк ± Δх

а відносна похибка в х визначається як

(відносна погрішність в х) =

(Абсолютне значення в знаменнику завжди забезпечує позитивність відносної похибки, навіть коли величина хнаил негативна.) Оскільки вираз незручно писати і читати, з цієї миті ми використовуватимемо його скорочене написання, в якому опустимо індекс "найк",

 

(відносна похибка в х) =

 

Результат виміру будь-якої величини х може бути виражений через його відносну похибку

Δх/‌|х‌| ‌як

(значення х) = хнайк ±

 

Отже, значення q = х/у може бути переписано як

(значення q) = .

 

Наше завдання тепер - знайти екстремальні імовірні значення другого множника справа. Цей множник максимальний, наприклад, коли чисельник рівний його найбільшому значенню, ‌‌, а знаменник дорівнює його найменшому значенню, . Таким чином, найбільше імовірне значення для q = х/у дорівнює

 

(найбільше значення q)= (3.5)

 

Останній множник у вираженні (3.5) має форму (1 + а)(1 - b), де числа a і b зазвичай малі (тобто багато менше одиниці). Цю форму можна спростити з допомогою двох наближень. По-перше, оскільки число b мало, біномна теорема*) дає

 

(3.6)

 

*) Біномна теорема дозволяє виразити 1/(a - b) через нескінченний ряд 1+ b + b2 + b3+ ... .

 

Отже

 

де в останньому вираженні ми нехтували добутком двох малих величин ab. Повертаючись до (3.5) і використовуючи ці наближення, ми отримуємо для найбільшого імовірного значення

q = х/у

(найбільше значення q) =

Аналогічний розгляд показує, що найменше імовірне значення дається подібним же виразом з двома знаками мінус. Об'єднуючи ці результати, знаходимо

(значення q) = (3.7)

 

Ми приходимо до висновку, що при діленні або множенні двох виміряних значень х і у відносна похибка результату дорівнює сумі відносних похибок х і у, як в (3.7). Якщо тепер множити або ділити цілий ряд чисел, то повторні застосування цього результату приведуть нас до наступного загального правила:

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.