Главная | Обратная связь

Піднесення до степеня

Другий окремий випадок правила (3.8) торкається оцінки міри деякої виміряної величини. Наприклад, ми могли б вимірювати швидкість v деякого тіла і потім для визначення кінетичної енергії 1/2(mv²) обчислювати v². Оскільки v² = v · v, то з (3.8) витікає, що відносна похибка в v² дорівнює подвоєній відносній похибці у v.

 

Якщо узагальнити, то з (3.8) зрозуміло, що загальне правило для будь якої степені буде таке:

 

Похибка при піднесення до степені

Якщо величина х вимірюється з похибкою

Δх і використовується для обчислення

Степені цього числа

то відносна похибка q в n разів більша,

ніж віднорсна похибка в х,

(3.10)

 

Наш вивід цього правила вимагав, щоб п було цілим і позитивним числом. Фактично, проте, правило можна узагальнити на випадок будь-яких показників міри п [див.(3.26)].

 

Приклад

Припустимо, що студент визначає прискорення вільного падіння g, вимірюючи час t падіння каменю з висоти h.

Після декількох вимірів часу він знаходить

 

t=1,6 ± 0,1 с

 

і вимірює висоту h як

h=14,1 ± 0,1 м

 

Оскільки h визначається відомою формулою h = (1/2) gt², то він обчислює g як

 

 

Похибка цього результату може бути знайдена за допомогою сформульованого вище правила. Тут нам необхідно знати відносні похибки в кожному з множників виразу g = 2h/t², який використовується для розрахунку g.

Множник 2 не містить похибки. Відносні похибки в h і t дорівнюють:

 

 

Відповідно до правила (3.10) відносна похибка в t² в 2 рази більше, ніж у t. Отже, застосовуючи пра вило (3.8) для добутків і часток до формули g = 2h/t², ми отримаємо для відносної похибки:

 

(3.11)

і похибка

 

 

Таким чином кінцевий результат (після заокруглення) буде

 

g=(11 ± 1) м/с²

 

Цей приклад показує, наскільки простою часто може бути оцінка похибок. Звідси видно також, яким чином теорія похибок не лише дозволяє оцінити величину похибок, але підказує шляхи їх зменшення. В даному випадку з (3.11) ясно, що найбільший вклад в похибку обумовлений виміром часу. Якщо ми хочемо мати точніше значення g, то необхідно поліпшити саме вимір t, будь-яка спроба поліпшити вимір h була б значною мірою марним зусиллям.