Главная | Обратная связь

III. Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при неизвестной дисперсии

Для потребителя показатели качества производственного процесса, как правило, не известны, но их можно установить по результатам выборочных статистических испытаний.Следовательно, доверительный интервал, содержащий математическое значение генеральной совокупности, необходимо строить, используя лишь выборочные статистики и S.В этом случае в расчетах используется распределение Стьюдента (t-статистика).

В начале 20-го века Уильям С. Госсет (William S. Gosset), сотрудник ирландского отделения пивоваренной компании Guinness, заинтересовался проблемой оценки математического ожидания при неизвестном стандартном отклонении. Поскольку компания Guinness запрещала своим сотрудникам публиковать работы под собственными именами, Госсет взял псевдоним Стьюдент. По этой причине распределение, предложенное Госсетом, называется t-распределением Стьюдента (Student's t - distribution).

Если случайная величина Xявляется нормально распределенной, то следующая статистика имеет t-распределение с n-1 степенями свободы:

. (6)

Обратите внимание на то, что это выражение почти совпадает с формулой Z-статистики, только вместо величины s в нем стоит выборочное стандартное отклонение S. Понятие степени свободы поясняется далее.

Внешне распределение Стьюдента очень напоминает стандартизованное нормальное распределение. Оба распределения имеют колоколообразную форму и являются симметричными. Однако хвосты t-распределения «тяжелее» (т.е. ограничивают большую площадь), а площадь фигуры в ее центре меньше, чем у стандартизованного нормального распределения. Это происходит потому, что стандартное отклонение s не известно, а вместо него используется его выборочная оценка S. Неопределенность значения s порождает большую изменчивость переменной tпо сравнению с величиной Z. Однако при увеличении количества степеней свободы t-распределение становится все ближе к стандартизованному нормальному распределению. Это происходит потому, что при увеличении объема выборки оценка S становится все точнее. При объеме выборки, равном 120 и более, величина S довольно точно аппроксимирует стандартное отклонение s, так что разница между t-распределением и стандартизованным нормальным отклонением становится минимальной. По этой причине, если объем выборки превышает 120, можно вместо величины tиспользовать переменную Z.