 |
|
Определение объема выборки для оценки математического ожидания
Чтобы определить объем выборки, необходимый для оценки математического ожидания генеральной совокупности, следует учесть величину ошибки выборочного исследования и доверительный уровень. Еще необходима дополнительная информация о величине среднего квадратического отклонения.
Для того чтобы вывести формулу, позволяющую вычислить объем выборки, вспомним формулу:
,
где Z— критическое значение случайной величины, имеющей стандартизированное нормальное распределение.
Величина, добавляемая и вычитаемая из 
,равна половине длины доверительного интервала. Она определяет меру неточности оценки, возникающей вследствие ошибки выборочного исследования,которая обозначается символом εи вычисляется по формуле
(9)
Следовательно, объем выборки попределяется по формуле:
(10)
Таким образом, для определения объема выборки необходимо знать три параметра:
• величину Z, являющуюся критическим значением стандартизованного нормального распределения[6]
• приемлемую ошибку выборочного исследования ε;
• средне квадратическое отклонение σ.
Рис. 3. Выборочные распределения средних арифметических, построенные по 500 выборкам с объемами п = 1; 2; 4 и 32, извлеченным из нормально распределенной генеральной совокупности
На практике вычислить эти величины непросто. Как определить доверительный уровень и ошибку выборочного исследования? Обычно ответить на этот вопрос могут лишь эксперты в предметной области (т.е. люди, понимающие смысл оцениваемых величин). Как правило, доверительный уровень равен 95% (в этом случае Z= 1,96). Если требуется поднять доверительный уровень, обычно выбирают величину, равную 99%. Если можно ограничиться более низким доверительным уровнем, выбирают 90%. Определяя ошибку выборочного исследования, не стоит думать о ее величине (в принципе, любая ошибка нежелательна). Следует задать такую ошибку, чтобы полученные результаты допускали разумную интерпретацию.
Кроме доверительного уровня и ошибки выборочного исследования, необходимо знать стандартное отклонение генеральной совокупности. К сожалению, этот параметр для потребителя почти никогда не известен. В некоторых случаях стандартное отклонение генеральной совокупности можно оценить на основе результатов предшествующей эксплуатации. В других ситуациях опытный менеджер по качеству может учесть размах выборки и распределение случайной переменной. Например, если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, ее размах приближенно равен 6σ (т.е. ±3σ в окрестности математического ожидания). Следовательно, стандартное отклонение приближенно равно одной шестой части, диапазона. Если величину σневозможно оценить таким способом, необходимо спланировать и выполнить экспериментальные проверки.
Чтобы продемонстрировать применение этого подхода, рассмотрим простейший пример.
Пример 1. С помощью выборочного метода необходимо оценить средний стаж работы служащих крупной фирмы. Предполагается, что он подчиняется нормальному закону, и по результатам предыдущих исследований аналогичных организаций известно, что стандартное отклонение σравно 2,70 года. Необходимо установить объем выборки с 95%-м доверительным уровнем и погрешностью, не превышающей величины 0,5 года.
Решение.По формуле (10) получаем:
Следовательно, п= 113, поскольку дробные результаты, как правило, округляют с избытком до ближайшего целого.
Ответ.Чтобы с вероятностью 0,95 и ε= 0,5 года определить средний стаж работы служащих крупной фирмы, необходимо обследовать не менее 113 служащих.
Для этого же примера при 95% -м доверительном уровне определите, как изменится объем выборки при следующих условиях:
σ=2,7; ε= 0,1; п = 2801 ?
σ=2,7; ε= 1; п = 29 ?
σ=5; ε= 0,5; п = 385 ?
σ=1; ε= 0,5; п = 16 ?
Проверьте правильность приведенных ответов и поясните полученные результаты.
Для этих же условий найдите решения для 90%-го доверительного уровня.