Главная | Обратная связь

Электрический колебательный контур

Электрическим колебательным контуром называют замкнутую цепь, состоящую из конденсатора С и катушки индуктивности L (рис. 6.8).

Периодически повторяющиеся изменения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе при отсутствии внешних воздействий называются свободными колебаниями.

При подключении к обкладкам заряженного конденсатора (рис. 6.8а) катушки индуктивности в ней возникает ток. Если электрическое сопротивление катушки пренебрежимо мало, то энергия электрического поля W_е заряженного конденсатора начинает превращаеться в энергию магнитного поля W_м. Мгновенной раз­рядке конденсатора препятствует ЭДС самоиндукции, сдер­живающая процесс возрастания силы тока в катушке. В тот мо­мент, когда конденсатор полностью разрядится, сила тока в катушке и энергия магнитного поля достигнут максимальных (амплитудных) значений (рис. 6.8б). После разрядки конденсатора ток в катушке убывает, но это приводит к уменьшению магнитного потока, что вызывает появ­ление в катушке ЭДС самоиндукции и индукционного тока. Сейчас на­правление индукционного тока таково, что он препятствует умень­шению магнитного потока. Конденсатор заряжается индукционным током катушки. Когда ток исчезнет, конденсатор окажется заряженным до первоначального значения заряда, но противоположного знака (рис. 6.8в). После этого происходит следующий процесс перезарядки конденсатора током, протекающим в противоположном направлении (рис. 6.8г), и возврат в исходное состояние после совершения одного полного колебания (рис. 6.8д). В верхней части рисунка показаны значения времени соответ­ству­ющих состояний, выраженные в долях периода.

Из закона сохранения энергии следует, что при отсутствии в контуре сопротивления максимальное значение энергии W_e электрического поля заряжен­ного конденсатора равно максимальному значению энергии магнитного поля W_м катушки: , откуда можно получить связь амплитудных значений тока в катушке и напряжения на конденсаторе: . Это отношение имеет размерность сопротивления, поэтому величину называют волновым или характеристическим сопротивлением контура.

Рис. 6.9. Реальный колебательный контур

В реальном электрическом контуре из-за потерь энергии на нагревание проводников и диэлектриков энергия магнитного и электрического полей по­степенно превращается во внутреннюю энергию. Свободные электромагнитные колебания в контуре оказываются затухающими.

Потери энергии в контуре можно учесть путем введения активного сопротивления (рис. 6.9). Поскольку потери в диэлектрике конденсатора малы, это сопротивление практически равно активному сопротивлению катушки индуктивности. Считая направление тока, заряжающего конденсатор, положительным, запишем закон Ома для участка цепи от отрицательно заряженной обкладки конденсатора 1 до положительно заряженной 2. В соответствии с формулой (2.13) получаем: .

Направление обхода контура от точки 1 к точке 2 совпадает с направлением тока, поэтому произведение iR положительно. ЭДС самоиндукции по правилу Ленца отрицательна. Так как потенциал отрицательно заряженной пластины меньше, чем потенциал положительной, разность потенциалов (j₁- j₂) отрицательна: ,

где q – заряд на конденсаторе. Изменение заряда конденсатора вызывается током, поэтому

.

С учетом вышеизложенного закон Ома можно записать в виде:

,

или в виде:

, (6.8)

где b=R/2L – коэффициент затухания, - собственная частота.

Дифференциальное уравнение (6.8) подобно уравнению, полученному для механического пружинного маятника (см. раздел «Механика»). Решение данного уравнения имеет вид:

, (6.9)

где q₀ - амплитуда тока в начальный момент времени,

(6.10)

- частота затухающих колебаний.

Из (6.9) следует, что уменьшение амплитуды со временем происходит по экспоненциальному закону.

Рис. 6.10. Колебания заряда на конденсаторе в контуре с потерями

Частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний w₀. Из (6.10) следует, что при большом затухании (b ³ w₀) частота становится мнимой величиной. Это означает, что колебательного процесса не происходит и заряд конденсатора уменьшается до нуля без перезарядки. Такой процесс называется апериодическим.

Степень затухания колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затуханияl. Он равен логарифму натуральному двух соседних амплитуд. В разделе «Механика» показано, что , где Т=2p/w – период колебаний. Еще одной характеристикой контура является добротность. Она связана с логарифмическим декрементом затухания соотношением и при малом затухании выражается через параметры колебательного контура следующим образом: , то есть равна отношению характеристического сопротивления контура к активному сопротивлению потерь.

Если в колебательный контур (рис. 6.9) последовательно со всеми элементами цепи включить источник переменной ЭДС, то получится цепь, изображенная на рис. 6.7а. Колебания, происходящие в таком контуре, называются вынужденными. Непосредственно после включения источника ЭДС в контуре будет наблюдаться наложение затухающих колебаний с частотой w' и колебаний с частотой w, то есть с частотой колебаний вынуждающей ЭДС. Через некоторое время затухающие колебания прекратятся и в контуре будут существовать колебания только с частотой w. Такие вынужденные колебания называются установившимися. Именно эти колебания описаны в разделе 6.4. Явление резонанса используется для выделения колебаний заданной частоты, например в радиоприемниках. Если подать на контур колебания нескольких частот, то колебание, имеющее частоту, равную собственной частоте контура, будет иметь максимальную амплитуду.

Заключение

Колебания технического переменного тока, получаемые при вращении рамки (катушки) в магнитном поле, близки к синусоидальным. Амплитуда тока в цепи зависит от величины сопротивления. В активном сопротивлении колебания тока происходят в одинаковой фазе с колебаниями напряжения, поэтому в таком сопротивлении происходит выделение мощности тока – нагрев или совершение механической работы. В реактивных элементах (конденсатор, катушка индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением) ток сдвинут по фазе относительно напряжения на угол p/2 (в конденсаторе ток опережает, а в катушке отстает на этот угол), поэтому выделение мощности в среднем за период равно нулю.

В последовательной RCL-цепи амплитуда колебаний зависит от соотношения частоты w источника переменной ЭДС и собственной частоты контура . При равенстве частот амплитуда колебаний тока становится максимальной, сопротивление цепи чисто активным, сдвиг фаз между колебаниями тока и напряжения равным нулю.