 |
|
Уравнения мощности в символической форме
Вспомним, что мгновенная мощность определяется следующим образом:
.
Если принять 
, тогда из 
следует, что 
.
Тогда 
.
Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую 
и гармоническую составляющую, изменяющуюся с двойной частотой.
Активная мощность – это постоянная составляющая мгновенной мощности или среднее за период:
(3.49)
Единица измерения мощности – ватт (Вт).
Активная мощность всегда положительна.
Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока, поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз, а полной мощностью
, (3.50)
где U, I – действующие значения соответственно напряжения и тока.
Полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжениях и токах. Также амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности численно равна полной мощности. Размерность полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности S называют вольт-ампер ( 
).
Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:
(3.51)
Для эффективного использования электрических машин и аппаратов желательно иметь более высокий коэффициент мощности или меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т.е. 
.
Высокий коэффициент мощности также желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям электропередачи. При данном значении Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше 
: 
.
При расчетах электрических цепей находит применение реактивная мощность Q:
(3.52)
которая положительна при индуктивном характере цепи (j> 0) и отрицательна при емкостном характере цепи (j < 0). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вар.
Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями
. (3.53)
Как следует из формул, для повышения коэффициента мощности приемника нужно уменьшать его реактивную мощность.
В то время, как активная мощность определяет совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии в единицу времени. Однако в электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности приписывают реактивной мощности аналогичный смысл, рассматривают ее как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую хотя она и не является энергией, условно называют реактивной энергией 
(вар×ч), на практике измеряют счетчиками.
Введем понятие комплексной мощности. Для того чтобы получить полную, активную и реактивную мощности из известных комплексов тока и напряжения, используют следующие соотношения
(3.54)
где 
– комплексная мощность, 
– сопряженное значение тока.
Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S:
.(3.55)
Рассмотрим комплексные мощности для различных потребителей:
для активного сопротивления:
(3.56)
для индуктивного сопротивления:
(3.57)
для емкостного сопротивления:
(3.58)
Баланс мощности
Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и активных мощностей. Сумма всех отдаваемых мощностей равна сумме всех получаемых мощностей. Рассмотрим, как соблюдается баланс для комплексных мощностей, а, следовательно, и для реактивных мощностей.
Пусть общее число узлов схемы равно n. Запишем для каждого узла уравнение по I закону Кирхгофа для комплексных сопряженных токов:
(3.59)
Эти уравнения записаны в общей форме в предположении, что каждый узел (здесь узел – место соединения не менее двух ветвей) связан с остальными n – 1узлами. При отсутствии каких-либо ветвей соответствующие слагаемые в уравнениях становятся равными нулю. При наличии между какой-либо парой узлов нескольких ветвей число слагаемых соответственно увеличивается.
Умножим каждое уравнение (3.59) на комплексный потенциал узла, для которого составлено уравнение:
(3.60)
Просуммируем все уравнения (3.60) с учетом того, что сопряженные комплексные токи входят в эти уравнения дважды (для двух различных направлений), причем 
и т.д. В результате получим
(3.61)
В этом выражении столько слагаемых, сколько ветвей и каждое слагаемое представляет собой комплексную мощность ветви 
. Таким образом, сумма комплексных получаемых мощностей во всех ветвях равна нулю. Полученное равенство выражает баланс мощностей 
. Из него следует равенство нулю в отдельности суммы определяемых активных и суммы определяемых реактивных мощностей.
Следует отметить, что взаимное направление токов и напряжений на потребителях и на источниках противоположно, как показано на рис. 3.24. Поскольку отрицательные получаемые мощности представляют собой мощности отдаваемые, то можно утверждать, что суммы всех отдаваемых и всех получаемых реактивных мощностей равны друг другу: 
или 
.
.
(3.62)
При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.