 |
|
Распространение волн перенапряжений вдоль проводов
Оборудование подстанций и постов секционирования имеет гораздо
более низкий уровень изоляции по сравнению с изоляцией линий электро-
передачи и контактной сети. Вместе с тем из-за большой протяженности
линий основная доля грозовых перенапряжений возникает именно в них и,
распространяясь вдоль проводов линии, достигает подстанции или поста
секционирования. Перенапряжение в месте его возникновения может рас-
сматриваться как источник, исходя из которого можно определиться и с
перенапряжениями, достигающими оборудования подстанций.
Наиболее распространенным механизмом для анализа процессов в
электрических цепях и предсказания их поведения являются законы Кирх-
гофа в совокупности с законом Ома и производные от них методы (кон-
турных токов, узловых потенциалов, узловых напряжений и другие). К со-
жалению, все эти методы не учитывают запаздывание распространения
электромагнитного поля и годятся только для электрически коротких це-
пей. Кроме того, все элементы электрической цепи рассматриваются кван-
тованно, то есть распределенность элементов никак не учитывается, что не
позволяет говорить о распределении потенциала по элементу даже в слу-
чае электрически малой его длины.
Максимальная скорость распространения электромагнитного поля в
пространстве составляет 300 м/мкс. Цепь будет электрически короткой, ес-
ли время распространения поля вдоль нее много меньше времени сущест-
венного изменения напряжения или тока в цепи; считается, что для сину-
соидальных напряжений и токов можно говорить о небольшой длине ли-
нии, если время распространения поля вдоль нее не превышает одной де-
сятой периода напряжения. Для двухпроводной воздушной линии с рас-
стоянием между проводами 3 м, высоте расположения проводов над зем-
лей 30 м и длине линии 30 км время распространения поля между прово-
дами составит 0.01 мкс, между проводами и землей - 0.1 мкс, вдоль линии -
100 мкс, так что для электромагнитных процессов между проводами мож-
но говорить о малых расстояниях между проводами до частот 10 Мгц, ме-
жду проводами и землей - до 1 Мгц, а вдоль проводов - до частот не более
1 кГц, что соответствует частотам высших гармоник электроэнергетиче-
ских систем. Именно до таких частот можно предсказывать поведение
двухпроводной системы с помощью законов Кирхгофа и производных от
них методов; далее нужно использовать что-нибудь другое.
Для простейшего анализа процессов можно рассматривать один про-
вод над поверхностью хорошо проводящей плоской земли, поскольку ос-
новную опасность для оборудования представляет перенапряжение на изо-
ляции по отношению к земле (рис. 14.1).
l
u
i
x
dx
h
Zвх
Рис. 14.1. Распространение волны перенапряжения по проводу линии
Если на некотором расстоянии x от начала линии выделить электри-
чески короткий участок dx, то можно обойти трудность, связанную с не-
возможностью применения законов Кирхгофа к длинной линии; на малой
длине dx при малости высоты h законы Кирхгофа вполне применимы.
Схема замещения участка dx показана на рис. 14.2а, где элемент dR отра-
жает потери энергии в проводе на нагрев, dL отображает индуктивность
провода, емкостный элемент dC отображает запас энергии в электрическом
поле между проводами, а проводимость dG соответствует утечке по изоля-
ции между проводами.
a)
i
x
dRdL
dx
DC dG
б)
u
iL0dx
C0dx
i+di
u+du
Рис. 14.2. Схема замещения участка линии длиной dx
В простейшей постановке резистивными элементами можно пренеб-
речь, считая провода низкоомными, а изоляцию идеальной (рис. 14.2б).
Ток i и напряжение u являются функциями координаты и времени,
i = i( x, t) , u = u (x,t) , и при приросте переменной x на малую величину dx
они прирастают на малые величины di и du. Можно считать, что парамет-
ры схемы замещения пропорциональны длине dx, то есть
dL = L0dx, dC = C0 dx,
где величины L0 (Гн/км), C0 (Ф/км), называемые первичнымипараметра-
ми линии, не зависят от координаты x в случае однородной линии, то есть
такой линии, у которой провод одинаков по всей длине и параллелен по-
верхности земли. Эти параметры не зависят обыкновенно также и от вре-
мени t. Смысл параметров следующий: L0 - это индуктивность линии дли-
ной 1 км, заземленной на конце, а C0 - емкость изолированной от земли
линии длиной 1 км.
Уравнения по законам Кирхгофа для малого участка dx по рис. 14.2б
выглядят следующим образом:
u = L dx
∂ i
+ +
u du , i = C dx
∂ u
+ +
i di ,
∂ t
∂ t
что после простейших преобразований приводит к системе дифференци-
альных уравнений в частных производных, называемых телеграфными
уравнениями длинной линии:
− ∂ u
= L
∂ i
;
− ∂ i
= C
∂ u
.
∂ x
∂ t
∂ x
∂ t
Эти уравнения решаются путем дифференцирования первого урав-
нения по переменной x, а второго уравнения – по переменной t:
− ∂
u
= L
∂
i
;
− ∂
i
= C
∂
u
,
∂ x
∂ ∂
t x
∂ ∂
x t
∂ t
откуда после подстановки второго уравнения в первое (для непрерывных
функций порядок дифференцирования значения не имеет) получается
уравнение
∂ 2u
=
C
∂ 2u
=
1 ∂ 2u
, где
v =
.
∂ x2
L00 ∂ t2
v2∂ t2
C
L00
Решением такого уравнения является любая функция, зависящая от
суммы или от разности переменных x ± vt :
u = u п(x − vt ) + u о(x + vt) ,
где слагаемое
u п(x − vt )
называется падающей волной напряжения, по-
скольку значение этой функции при приращении времени на величину ∆t
остается прежним на увеличенной координате x1= x + v ∆t , а слагаемое
uо(x + vt)
называется отраженной волной напряжения, поскольку значение
этой функции при приращении времени на величину ∆t остается прежним
на уменьшенной координате x1= x − v ∆t .
Из второго уравнения системы телеграфных уравнений при подста-
новке полученного решения для напряжения получается уравнение для то-
ка в линии:
− ∂ i
= C
∂ u
п + C
∂ u
о .
∂ x
∂ t
∂ t
Поскольку дифференцирование падающей волны напряжения по пе-
ременной x отличается от дифференцирования по переменной t только со-
множителем –v, а для отраженной волны – сомножителем v,
∂ u п = −v ∂u п
,
∂ uо = v ∂ uо
,
то
∂ t
∂ i
= C v
∂ x
∂ u
∂ t
п − C v
∂ u
∂ x
о =
∂ i
п +
∂ i
о .
∂ x
∂ x
∂ x
∂ x
∂ x
При равенстве производных равны и первообразные с точностью до
произвольной функции времени, не зависящей от координаты х, что физи-
чески возможно только для постоянного тока (иначе придется говорить о
бесконечно быстром распространении воздействия по линии). Не прини-
мая во внимание постоянные токи, получим
i =
ZВ
u
п
−
Z В
u
+i , где
о=iп о
величина
Z
В
=
C v
=
L
C
, связывающая друг с другом падающие и отра-
женные волны тока и напряжения, называется волновымсопротивлением
линии. Если отраженных волн нет, то u = u п(x − vt) , i = iп(x − vt) и
i =
u
Z В
.
Двухпроводная контактная подвеска с гирляндами тарельчатых изо-
ляторов имеет значения параметров L0=1,2 мГн/км, C0=0,014 мкФ/км, так
что волновое сопротивление ZВ=300 Ом, а скорость распространения вол-
ны v=240..270 м/мкс, несколько меньше скорости света из-за конечной
проводимости земли. При подключении усиливающего провода L0=0,8
мГн/км, ZВ=225 Ом.
Силовые кабели имеют значительную емкость и малую индуктив-
ность линии, и для них ZВ=5..30 Ом, v=150..200 м/мкс.