Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Новий матеріал

Означення перпендикулярності прямої і площини

Уявлення про пряму перпендикулярну до площини дають вертикально поставлені стовпи – вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, яка проходить через основу стовпа і лежить у площині землі.

Пряма називаєтьсяперпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину та перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.

На рис. 137 пряма с перпендикулярна до площини α. Пишуть: с α. З означення випливає, що с a , с b.

Ознака перпендикулярності прямої і площини

Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це питання має практичне значення, наприклад, при установці щогл, колон тощо, які потрібно поставити прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину даної прямої і площини, а досить перевірити перпендикулярність лише до двох прямих, які лежать у площині і проходять через точку перетину прямої і площини. Це випливає з теореми, що виражає ознаку перпендикулярності прямої і площини.

Теорема.

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Дано:

a с, a b, b α, с α; а, b, с перетинаються в точці А; х α .

Довести: а х (рис. 139).

Доведення

Додаткові побудови: проводимо пряму в площині α, яка перетинає прямі b, х, с в точках В, X, С, та відкладаємо на прямій а АА₁ = АА₂.

Номер п/п	Твердження	Аргументи
	ΔА₁СА₂ — рівнобедрений	AC — висота за умовою та медіана за побудовою
	ΔА₁ВА₂ — рівнобедрений	АВ — висота за умовою та медіана за побудовою
	ΔА₁СВ = ΔА₂СВ	За третьою ознакою рівності трикутників (А₁В = А₂В із п.2; А₁С = А₂С із п.1; СВ — спільна)
	<A₁BX = <A₂BX	Із п.3
	ΔА₁ВХ = ΔА₂ВХ	За першою ознакою рівності трикутників (<A₁BX = <A₁BX із п. 4; A₁B = ВA₂ із п. 3; ВХ — спільна)
	A₁X = A₂X	Із п. 5
	ΔА₁ХА₂ — рівнобедрений	A₁Х = А₂Х
	ХА — медіана є висотою: ХА А₁А₂	ΔА₁ХА₂ — рівнобедрений