 |
|
Способи задання площини
РОЗДІЛ 1. Теоретичні відомості до модуля «Площина в просторі»
Поняття площини та її рівняння
В курсі елементарної геометрії площина не визначається, так як вона є основним, неозначуваним геометричним об’єктом. Основні властивості площини задаються аксіомами, а інші виводяться з них логічним шляхом. Однак, користуючись поняттям компланарності векторів, можна задати геометричне місце всіх точок простору, що належать площині. Дійсно, якщо М0 — довільна точка площини 
, а 
і 
— неколінеарні вектори, паралельні цій площині, то точка М належить площині тоді і тільки тоді, коли вектори 
, і компланарні. Іншими словами, якщо 
— множина всіх точок, що належать площині , то –– геометричне місце точок М простору, що задовольняють умові: вектори 
, і компланарні. Ця властивість може бути використана для складання рівняння геометричного місця точок , тобто рівняння площини.
Способи задання площини
- Площина задається точкою і направляючим підпростором
Вектори, які лежать в одній площині, називаються направляючим двовимірним векторним підпростором трьохвимірного векторного простору.
Нехай – довільна площина, 
– точка, що належить площині , а вектори 
і 
визначаютьнаправляючий підпростір даної площини (рис. 1). Візьмемо в площині довільну точку 
. Оскільки вектори 
, і компланарні, то виконується умова:
(1)
Рівняння (1) є рівнянням площини, що задається точкою і направляючим підпростором.
2. Рівняння площини, що проходить через три точки, які не лежать на одній прямій
Нехай маємо три точки 
, 
, 
, які не лежать на одній прямій (рис. 2).
Розглянемо вектори 
, 
. Ці вектори не колінеарні, а тому довільна точка 
лежить на одній площині з точками 
, 
, 
тоді й тільки тоді, коли вектори 
; 
; 
будуть компланарними. Якщо вектори компланарні, то їх мішаний добуток дорівнює нулю:
Запишемо цю умову у вигляді:
(2)
Рівняння (2) називається рівнянням площини, що проходить через три дані точки.
3. Рівняння площини у відрізках
Нехай площина відтинає на осях координат відрізки 
Тоді 
, 
, 
– точки перетину площини з осями координат (рис. 3). Якщо – довільна точка даної площини, то виконується умова компланарності векторів 
, 
, 
:
(3)
Рівняння (3) називається рівнянням площини у відрізках.
4. Параметричні рівняння площини
Нехай площина задана точкою і направляючими векторами 
та . Оскільки вектори і не колінеарні, то вектор 
єдиним чином можна розкласти по векторах і , тобто для будь-якої точки 
площини існують числа 
та 
такі, що
(4)
Запишемо рівність (4) в координатній формі:
або 
(5)
Рівняння (5) називаються параметричними рівняннями площини.
5. Загальне рівняння площини
Нехай площина проходить через точку перпендикулярно до вектора 
(рис. 4).
Цими умовами визначається єдина площина у просторі. Вектор 
називається нормальним вектором площини . Візьмемо в площині довільну точку . Тоді вектор буде перпендикулярним до вектора . Значить, скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, тобто 
.
Одержане рівняння запишемо в координатній формі:
Рівняння площини, записане у вигляді
(6)
(де 
), називається загальним рівнянням площини.