Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.

Тема. Поверхности 2-го порядка

Сферические и цилиндрические поверхности

1. Уравнение сферической поверхности с центром и

радиусом имеет вид:

Пример 1. Найти центр и радиус сферы, задаваемой уравнением:

Решение. Выделяются полные квадраты для каждой переменной:

Или Это уравнение сферической поверхности с центром и радиусом =4.

2. Цилиндрической поверхностью называется множество точек, лежащих прямых, которые пересекают некоторую линию и параллельны заданному вектору Линия называется направляющей, а указанные прямые называются образующими. Пусть направляющая расположена на плоскости OZ и задана уравнением и вектор в пространстве имеет координаты . Тогда для каждой точки , лежащей на направляющей , уравнение образующей, проходящей через эту точку, имеет вид:

Отсюда получается: . Это подставляют в уравнение направляющей: , получено искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Частные случаи.

а). Если уравнение поверхности не содержит переменную z, то это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллель-

ными оси OZ.

б). Если уравнение поверхности не содержит переменную y, то это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллель-ными оси OY.

в). Если уравнение поверхности не содержит переменную x, то это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллель-ными оси OX.

Пример 2.Построить поверхности:

Решение. 1). В уравнении отсутствует переменная z, поэтому это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OZ. Чертится окружность в плоскости OXY, затем проводятся образующие параллельно оси OZ.

2). В уравнении отсутствует переменная х, поэтому это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OХ. Чертится парабола в плоскости OYZ, затем проводятся образующие

параллельно оси OХ.

3). В уравнении отсутствует переменная х, поэтому это уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OХ. Уравнение преобразуется к виду и чертится окружность в плоскости OYZ с центром (0; 0; 3) и радиусом 3. Затем проводятся образующие параллельно оси OХ.

Пример 3. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей и образующими, параллельными вектору {2; 2; 2}.

Решение. Так как у = 0, то в плоскости OXZ строится окружность с центром (0; 0; 0) и радиусом 2. Затем проводятся образующие параллельно вектору{2; 2; 2}.

Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.

Кроме цилиндрических, существуют шесть видов поверхностей 2-го порядка, определяемые следующими простейшими уравнениями.

1. Эллипсоид

2. Однополостный гиперболоид

3. Двуполостный гиперболоид

4. Конус 2-го порядка

5. Эллиптический параболоид При

6. Гиперболический параболоид При